概率的公理化定义及其性质

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1、第3节概率的公理化定义及其性质定义3.1设E为随机试验,Ω是它的样本空间，F是Ω的一些子集所组成的集合族。如果F满足如下条件：则称集类F为s-代数，称F中的元素为事件，Ω为必然事件，空集f为不可能事件，(Ω,F)为可测空间.柯尔莫哥洛夫,1933年前苏联著名数学家，现代概率论开创者例1.F={f,Ω}为s-代数，这是最小的为s-代数.例2.设AΩ为任意集合，则F={f,A,Ā,Ω}为s-代数.例3.设Ω为任意有限集,则F=2Ω={Ω的子集}为s-代数.例4.设Ω为任意的集合,则F=2Ω={Ω的

2、子集}为s-代数.例5.设Ω为实数限集,如果F是由所有的有界半闭区间生成的为s-代数.则称F为Borels-代数，F中的元素叫做Borel集.可测空间(Ω,F)具有以下性质证明从略定义3.2设(Ω，F)是一个可测空间，对每一集A∈F，定义实值集函数P(A)，若它满足如下三个条件：(1)非负性条件：对每一集A∈F,都有0≤P(A)≤1;(2)规范性条件：P(Ω)=1;(3)可列可加性条件:设Ai∈F,i=1,2,…,而且AiAj=,i≠j,i,j=1,2,…,有则称集合函数P(·)为(Ω，F)上

3、的概率，P(A)为事件A的概率，(Ω,F,P)为一个概率空间.性质1.P()=0.概率的性质于是由可列可加性得又由P()≥0得,P()=0证明:设An=(n=1,2,…),则,且对于证明令An+1=An+2=…=,则由可列可加性及P()=0得性质2.即性质3.对于任一事件A,有证明因为且，因此有证明由AB知B=A∪(B-A),且A(B-A)=,性质4设A,B是两个事件,若AB,则有P(B-A)=P(B)-P(A)推论若AB，则P(B)≥P(A)证明由P(B)=P(A)+P(B

4、-A)和P(B-A)≥0知P(B)≥P(A)因此由概率的有限可加性得P(B)=P(A)+P(B-A)从而有P(B-A)=P(B)-P(A)证明因为A-B=A-AB,且ABA故推论对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)性质5对于任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式.证明因A∪B=A∪(B-AB)且A(B-AB)=,ABB故P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P

5、(B)-P(AB)概率的加法公式可推广到多个事件的情况.设A,B,C是任意三个事件，则有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般地,对于任意n个事件A1,A2,…,An,有多除少补原理性质6(概率的连续性)设Ai∈F,i=1,2,…,而且则有证明从略推论设Ai∈F,i=1,2,…,而且则有证明设Bi=Ai–A，对Bi应用性质5即可.定理3.1设P为可测空间(Ω,F)上的非负实值集函数，且P(Ω)=1,则具有可列可加性的充要条件是(1)P

6、是有限可加的；证明从略(2)P是连续的.例1设(Ω,F,P)为一个概率空间.A,B∈F，且AB=，求证P(Ā)≥P(B).证明因AB=，由非负性和有限可加性，得1≥P(A+B)=P(A)+P(B)故P(Ā)=1-P(A)≥P(B).解例2作业：P27，T16,17.