《导数的定义》PPT课件(I)

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1、第二章一元函数微分学2第二章一元函数微分学一、导数的概念二、函数的求导法则三、高阶导数四、隐函数及参数方程参数所确定函数的导数五、微分2011/10/273第一节导数的基本概念(TheDerivative)一、导数的背景二、导数的定义三、导数的几何意义及应用第一节导数的概念2011/10/274一.背景在真空中,当时间由t变到t+t时,自由1、物理背景---非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为例1物体由t到t+t一段的平均速度是第一节导数的概念2011/10/275求物体在时刻t的瞬时速度vt,就是令t0的极限过程：从物理学看,当t0时,应该有这是否也

2、说明了一个什么问题?第一节导数的概念2011/10/272、医学背景---细胞的增值速度设增值细胞在某一时刻t的总数N,显然N是时间t的函数,即N=N（t）,在t0到t0+△t这段时间内,细胞的平均增长率为6它在△t趋于0时的极限（如果存在的话）就是细胞在t0时刻的增值速度，即第一节导数的概念2011/10/2773、数学背景-平面曲线的切线问题(TangentLines)播放MNT割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.第一节导数的概念2011/10/278沿曲线趋近于点A时的极限位置.平面曲线y=f(x)的切线：曲线在点A(x0,y

3、0)处的切线AT为过曲线上点A的任意一条割线AA’当点A’(x0+x,y0+y)定义1切线方程:其中,第一节导数的概念2011/10/279(1)建立一个函数关系y=f(x)xI.(2)求函数由x0到x0+x的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求x0的极限：小结第一节导数的概念2011/10/2710二.导数的概念设函数f(x)在U(x0)有定义,且x0+xU(x0).则称函数f(x)在点x0处可导,极限值a称为f(x)在如果极限存在,点x0处的导数.记为定义21.导数的定义第一节导数的概念2011/10/2711k0为常数.如果

4、函数f(x)在点x0处可导,则第一节导数的概念2011/10/2712设函数f(x)在[x0,x0+)内有定义,若存在,则称a为f(x)在点x0处的右导数.记为2.左、右导数定义3第一节导数的概念2011/10/2713设函数f(x)在(x0–,x0]内有定义,若存在,则称a为f(x)在点x0处的左导数.记为定义4第一节导数的概念2011/10/2714定理好像见过面啊！第一节导数的概念2011/10/2715解例2第一节导数的概念2011/10/27163.导函数若x(a,b),函数f(x)皆可导,则说f(x)在(a,b)内可导.这时f(x)是关于x的一个新

5、函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：定义5第一节导数的概念2011/10/2717函数在点x0I处的导数:若f(x)在(a,b)内可导,且存在,则称f(x)在[a,b]上可导,f(x)称为f(x)在[a,b]上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.定义6第一节导数的概念2011/10/27三、由定义求导数举例18步骤:解例3第一节导数的概念2011/10/2719例4第一节导数的概念2011/10/2720解更一般地例如,例5第一节导数的概念2011/10/2721解例6第一节导数的概念2011/10/2722解

6、例7第一节导数的概念2011/10/27四、导数的意义231.几何意义(GeometricInterpretation)第一节导数的概念2011/10/2724yOxx0y=cf(x0)=0yOxf(x0)=x0Oxyx0yOxx0f(x0)不存在f(x0)不存在第一节导数的概念2011/10/2725例解根据导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为例8第一节导数的概念2011/10/27262.简单的物理意义1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.第一节导数的概念2011/10/2727函数f

7、(x)在点x0可导的必要条件是它在点x0连续.只是必要条件！五、可导与连续的关系第一节导数的概念2011/10/2728设f(x)在点x0可导,即有于是故第一节导数的概念2011/10/2729y=

8、x

9、在点x=0连续,但不可导.故f(0)不存在.y=

10、x

11、Oxy例9解第一节导数的概念2011/10/2730在点x=0处的连续性和可导性.又当nN时,函数在点x=0处连续.例10解第一节导数的概念2011/10/2731当n=1时,不存在,故n=1时,函数在x=0处不可导.当n>1时,故n>1时,函数在x=0处可导.其导数为第一节导数