城区公路选址

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1、36城区公路选址问题摘要本文研究的是城区公路的选址问题，从建设费用最省的角度给出了最优方案。第一问中，将已知的限定地区转化为坐标系，利用函数化建模思想，建立利用枚举法将所有可能的转弯点P代入求解建设费用，最后再找出最小费用的模型。由A,B,P三点坐标求解AP,PB的线段方程，找出线段中所有横、纵坐标为整数的点即为线路与网格线的交点，再利用相邻交点的坐标求解单位格子中的距离，求交点的中点坐标来限定铺设单价，即权重，最后求累加和即为点P在某位置时的铺路费用，再分别代入所有P点求解最小费用，得到最优方案，即将转弯点设在（5,6）或（6,5）点时可使建设费用最省，总费用为14.70

2、7百万元。第二问要求最多有两个转弯点且转弯点在网格点上。我们首先确定了公路的大致走向，得到了P1和P2的位置关系，缩小范围，减少运算时间。根据第一问中的思想和方法，建立与、的函数关系，利用Matlab编程，得到最优方案，即将两转弯点分别设在（4,7），（7,4）上时，可使总建设费用最少，为14.6241百万元。根据第三问的要求可知，其转弯点的坐标特点为至少有一个坐标为整数。我们分有一个转弯点和有两个转弯点两种情况进行讨论。以第一、二问为基础，将循环步长设为0.01，然后在横坐标或纵坐标为整数的条件下得到最优方案。最优方案为分别在（3.62,7）和（7,3.62）设立两个转弯

3、点，最小建设费用为14.63百万元。第四问是在第二问的基础上，将四个大循环的步长设为0.01，然后得到最优方案：在(3.58,7.32),(7.32,3.58)两点设两个转弯点，最少建设费用为14.54百万元。第五问中，单位建设费用的变化是连续的。我们先根据解析几何的知识，判断出转弯点在直线y=x上；然后对x积分，得到W关于x的函数，求其最小值，得到最优方案。最优方案：将转弯点设在（5.31,5.31）上，建设费用最小，为14.707百万元。考虑到其函数关系太复杂，不利于实际应用，我们对x和W进行了曲线拟合，得到了形式简单的三次曲线方程。关键词：函数化思想，枚举法，转弯点3

4、61问题重述某区政府计划在下列区域（见图1）修建一条从A（0,9）到B（9,0）的直线型公路，由于涉及路面拆迁等因素，各地段建设费用有所不同，图1中的数字代表该区域公路单位建设费用（单位：百万元）。未标数字的任何地方单位建设费用均为1。图1的每个网格长与宽都是1个单位。每个网格的边界上建设费用按该地区最小单位费用计算。按建设部门的如下具体要求，从建设费用最省的角度，给出最优的方案。（1）公路至多只能有1个转弯点，且转弯点只能建在图1所示的网格点上。（2）公路至多可以有2个转弯点，且转弯点只能建在图1所示的网格点上。（3）公路至多只能有2个转弯点，且转弯点只能建在图1所示的网

5、格线上。（4）公路至多只能有2个转弯点，转弯点可以建在图1所示区域的任何位置。（5）如果各区域的单位建设费用为（百万元），公路至多只能有1个转弯点，转弯点可以建在图1所示区域的任何位置。图12模型假设（1）各路面状况（地形、地质），条件相同；（2）不考虑由于自然灾害或人为失误等因素造成的损失；（3）各路段施工所用的设备相同且状态良好；3符号说明（1）：单转弯点的坐标；36（2）：双转弯点中靠近A点的坐标；（3）：双转弯点中靠近B点的坐标；（4）:总建设费用；（5）：单位区域的公路长度；（6）：第条路段单位建设费用；（7）：第条路段费用； （8）：第条路段与网格线交点的横坐标

6、矩阵；（9）：第条路段与网格线交点的纵坐标矩阵；4问题分析4.1最多有1个转弯点且转弯点在网格点上总建设费用主要和公路长度以及各地段的单位建设费用有关。我们利用函数化建模的知识，建立与、的函数关系。在最多有一个转弯点且转弯点在网格点上的条件下，我们采用枚举法，利用Matlab，计算出所有情况下的W，最后筛选出使得W最小的转弯点，即最优的选址方案。4.2最多有2个转弯点且转弯点在网格点上根据问题一的方法类比，同样采取函数化建模以及枚举法的思想。先确定公路的大致走向，得出两转弯点坐标的限制条件，减少运算量。然后建立与、的函数关系，利用Matlab，筛选出使W最小的P1和P2，得

7、到最优的选址方案。4.3最多有2个转弯点且转弯点在网格线上该问题与前两问相比，其转弯点的坐标特点变为至少有一个坐标为整数，我们分成两种情况对该问进行讨论。第一种为只有一个转弯点，在第一问程序的基础上，将循环中的步长改为0.01；第二种为有两个转弯点，在第二问程序的基础上同样将步长改为0.01。分别求出两种情况下的最小建设费用，比较，得出最优方案。4.4最多有2个转弯点且转弯点在区域内任何位置在该问中，转弯点的坐标为实数，思想及方法与第二问一致，把其循环中的步长改为0.01，得出最优方案。4.5只能有1个转弯点且转弯