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《《实数与向量的积》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.3向量的数乘运算1.向量加法的三角形法则作法:在平面中任取一点O,o回顾旧知:过O作OA=a过A作AB=b则OB=a+b.a+bbaA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾连2.向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,o以OA,OB为边作平行四边形C如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB过O作OA=a过O作OB=ba+b则对角线OC=a+b共起点3.向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,过O作OA=a过O作OB=boaAbB则BA=a-ba-b共
2、起点实际背景探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a（如图）a试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根据向量加法的法则可得思考:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？OABC由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3a，即OC=3a.显然，3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即
3、3a
4、=3
5、a
6、.PQMN由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即PN=-3a显然，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的
7、长度的3倍，即
8、-3a
9、=3
10、a
11、。（1）一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。特别的，当时，思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点?①a是一个向量；②a的长度等于的绝对值与向量a的长度的乘积。=探索2:(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。设为实数，那么特别的，我们有第一分配律第二分配律向量的加、减、数乘运算统称为向
12、量的线形运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有例1.计算：解：DC=AB=aBC=BD+DC=(AD-AB)+DC=b-a+a=b-aMN=DN-DM=a-b-a=a-bDANMCB例1:梯形ABCD，且
13、AB
14、=2
15、DC
16、M、N分别为DC、AB中点。AB=aAD=b用a，b表示DC、BC、MN。巩固练习:设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若记AB=m,CA=n.试用m,n表示DE、EF、FDABC·DE·F·思考:问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa？问题1：如
17、果b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0),b，以及实数λ,向量共线定理对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线.反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的λ倍，即
18、b
19、︰
20、a
21、=λ，那么当向量a与b同方向时，有b=λa，当向量a与b反方向时，有b=-λa.也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a.例2:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，，求证M、N、C三点共线.AMBCDN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a
22、+bMC=…=a+b所以M.N.C三点共线一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD练习1设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴练习2:e1、e2不共线,a=e1+
23、e2,b=3e1-3e2.a与b是否共线。解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。练习3:设两非零向量a和b不共线，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b求证：A、B、D三点共线。例2:（2003辽宁）已知四边形ABCD是菱形，P点在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于()A、B、C、D、A变形1:（2003全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B变形2:
24、OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP所以：OABP因为OP=OA+AP=OA+
