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1、实用文档实变函数测试题1本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系151732413991、设。解：；设，则存在N，使，因此时，，即，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多，得又显然，所以。；若有，则存在A，使任意,有。因此若时，，即.令得，此不可能，所以。2、证明：为上连续函数的充分必要条件是对任意实数，集和都是闭集。证明：必要性：若是上连续函数，由第二章习题8可知和是闭集。充分性：若和E都是闭集。若有，在点不连续。则存在，或，不妨设出现第一种情况。令，则，而（因为），此与是闭集相矛盾。所以在上是连续的。证毕。3、设是任意可测集，则一定存在可测集型集，使得,且3．由
2、外侧度定义，对任意正整数，存在开集,使，令，则为型集，且故。证毕。4、设，可测，且，若，则皆可测。文案大全实用文档4．证明：先证可测：存在型集使得。令。.。因为,,即,又,所以,所以.，所以,因为可测，可测，所以可测。同理可证可测。证毕。5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。5．鲁津定理：设是上a.e.有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且.逆定理：设是上的函数，对，总存在闭子集，使得在上是连续函数，且，则，是上a.e.有限的可测函数。证明：对任意，存在闭子集,使在上连续且,令，则对任意，有。令，得。对任意实数a，，由在上连续，可知可测，而，所以也可测，从
3、而是可测的。因此是可测的。因为在上有限，故在上有限，所以a.e.有限。证毕。6、设是上的可测函数，为开集，为闭集，试问与是否是可测集，为什么？6.由已知则开集可写成直线上可列个开集的并集，即，文案大全实用文档，则可知是可测集。由，则可知也是可测集。证毕。7、设在Cantor集上定义函数=0，而在的余集中长为的构成区间上定义为（）,试证可积分，并求出积分值。7．f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设是的余集中长为的构成区间之并，则，因此，所以可积，且积分值为3。证毕。8、设为上非负可积函数列，若则。8．对任意，由于非负可知：，即证毕。9、设是上a.e.有限的可测函数，
4、。试证明对，存在上a.e.有界的可测函数，使得。9．因为是上的a.e.有限的可测函数，设，，令故有所以，故，使得令g(x)=故。证毕。10、求证文案大全实用文档,。10.由于当证毕。实变函数测试题2本套试题参考答案由李蓉（统计班2008750408）提供，如有问题联系150732390711、证明。证明：设，则，使一切，，所以,则可知。设，则有,使，所以。因此，=。2、设。求在内的，，。解：，，。3、若，对，存在开集,使得且满足，证明是可测集。证明：对任何正整数，由条件存在开集，使得。令,则是可测集，又因，对一切正整数成立，因而=0，即文案大全实用文档是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。
5、4、试构造一个闭的疏朗的集合，。解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时，一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为。所以最后所得集合的测度为，即。5、设在上，且几乎处处成立，,则有a.e.收敛于。证明因为，则存在，使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到，且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集外，收敛于，就是a.e.收敛到。6、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续
6、函数，使得于。证明：因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当文案大全实用文档时有=。所以对任意的，成立，由此可得。因此，即，由黎斯定理存在的子列，使得a.e于.证毕。7、设为a.e有限可测函数列，证明：的充要条件是。证明：若0，由于,则。又，,,常函数1在上可积分，由勒贝格控制收敛定理得。反之，若（），而且，对，令,由于函数,当时是严格增加函数，因此。所以，即。8、设，，讨论为何值时，为上L可积函数或不可积函数。文案大全实用文档解当时,因此当时，是L不可积。当时，在中可积，且满足，所以是L可积。9、设，a.e.有限的可测函数列和，，分
7、别依测度收敛于和，证明。证明：因为于是，成立，所以即10、试从求证。文案大全实用文档证明：在时，，由L逐项积分定理，另一方面因此可得：。实变函数测试题3本套试题参考答案由李石玲提供，如有问题联系151732587091、作出一个和的1-1对应，并写出这个对应的解析表达式。解：，对任意，，显然是到的1-1对应。2、证明：的充要条件是对任意含有的邻域（不一定以为中心）中，恒有异于的属于(事实上，这样的还有无穷多个)。而的充要
