高等数学之傅立叶级数

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1、第七节傅立叶级数三角级数由三角函数组成的函数项级数一、三角级数三角函数系的正交性三角级数形如：（1）其中为常数.三角函数系:（2）三角函数系的正交性:（1）中任何不同的两个函数之积在上的积分等于零;（2）中任何两个相同函数之积在上的积分不等于零.1即为奇函数）2二、函数展开成傅立叶级数设是以为周期的周期函数，且能展开成三角级数：（1）问题：怎样确定系数1.先求对（1）式从到逐项积分:3=0类似,(2)称为函数的傅立叶系数.综上可得(2)2.再求用乘(1)式两边,到逐项积分:再从4傅立叶系数所构成的三角级数:(3)(3)称为函数的傅立叶级数.在什么条件下,其

2、傅立叶级数(3)收敛于即满足什么条件时,可以展成傅立叶级数?问题:5收敛定理（狄利克雷充分条件）设是周期为的周期函数,若它满足条件:1).在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2).在一个周期内至多有有限个极值点.则的傅立叶级数收敛,并且(1).当是的连续点时,级数收敛于(2).当是的间断点时,级数收敛于只要函数在上至多有有限个第一类间断点,并且不作无限次振动，则的傅立叶级数在连续点处在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值.说明收敛于6例1.设是周期为的周期函数,它在上表达式为:将展开成傅立叶级数.解显然该函数在处不连续.xyo-11该函数满足收敛定

3、理的条件,的图形为:处收敛于的傅立叶级数在点所以在其它点处收敛于f(x)的傅立叶级数的和函数图形为:xyo-117所以，函数的傅立叶级数展开式为：8例2.设是周期为的周期函数,它在上表达式为:将展开成傅立叶级数.解的图形为:显然该函数在处不连续.处收敛于该函数满足收敛定理的条件,所以的傅立叶级数在在其它点处收敛于9f(x)的傅立叶级数的和函数图形为:10所以，函数的傅立叶级数展开式为：11说明：若只是定义在区间上，则也可以展成傅立叶级数.且满足收敛定理的条件，方法:1).将进行周期延拓。函数2).将展开成傅立叶级数,3).当限制在内,此时这样便得到的傅立叶

4、级数展式.该级数在处收敛于在或外补充函数的定义，使其拓广成周期为12例3.将函数展开成傅立叶级数.解在上满足收敛定理的条件,将进行周期延拓,延拓后的函数为周期为的周期函数,且在内,的傅立叶级数在内收敛于而在处收敛于的傅立叶级数在上收敛于即13书P303所以，函数的傅立叶级数展开式为：14小结1.三角函数系及其正交性2.周期为2π的函数展开成傅立叶级数3.收敛定理15