复数域和实数域上的二次型

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1、9.2复数域和实数域上的二次型一.内容分布9.2.1复二次型的典范形9.2.2实二次型的典范形二.教学目的1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次型的惯性指标、符号差等概念。2．掌握实二次型的惯性定律.三.重点、难点：实二次型的惯性定律.9.2.1复二次型的典范形式定理9.2.1复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.证显然只要证明第一个论断.条件的必要性是明显的.我们只要证条件的充分性.设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q

2、，使得取n阶复矩阵的一个平方根.这里分别表示复数那么，而因此，矩阵A，B都与矩阵合同，所以A与B合同.即复二次型9.2.2实二次型的典范形式定理9.2.2实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如下形式的一个矩阵：（1）这里r等于A的秩.证由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得如果r>0，必要时交换两列和两行，我们总可以假定取那么定理9.2.3实数域上每一n元二次型都与如下形式的一个二次型等价：（1）这里r是所给的二次型的秩.二次型（1）叫做实二次型的典范形式，定理9.2.3是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价.在典范形式里，平方项的个数r等于二次型的秩，因而是

3、唯一确定的.定理9.2.4（惯性定律）设实数域R上n元二次型等价于两个典范形式（2）（3）那么证设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换（4）（5）化为所给的二次型如果不妨设考虑个方程的齐次线性方程组（6）因为所以因此，方程组（6）在R内有非零解.令是（6）的一个非零解.把这一组值代入的表示式（4）和（5）.记我们有然而所以因为都是非负数，所以必须又所以是齐次线性方程组的一个非零解.这与矩阵的非奇异性矛盾.这就证明了.同理可证得.所以由这个定理，实数域上每一个二次型都与唯一的典范形式（1）等价.在（1）中，正平方项的个数p叫做所给二次型的惯性指标.正项的个数p与

4、负项的个数r–p的差s=p–(r–p)=2p–r叫做所给的二次型的符号差.一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的.定理9.2.5实数域上两个n元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差.证设是实数域上两个n元二次型.令分别是它们的矩阵.那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得如果等价，那么合同.于是存在实可逆矩阵Q使得.取，那么因此都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差.反过来，如果有相同的秩r和符号差s,那么它们也有相同的惯性指标.因此都与矩阵合同.由此推出合同，从而等价.推论9.2.6实数域R上一切n元二次型可以分成类，属于同一

5、类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.证给定.令由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以为矩阵的典范形式等价.当r取定后，p可以取0，1，…，r；而r又可以取0，1，…，n中任何一个数.因此这样的共有个.对于每一个，就有一个典范形式与它相当.把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是R上的一切n元二次型恰可以分成类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价.例1a满足什么条件时，二次型的惯性指标是0，符号差是－2？写出其典范形。解实二次型的矩阵为经过合同变换可化为标准形所以当或时，二次型的惯性指标是0，符号差是－2，其典范形为