复回归分析：推断问题

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1、第8章复回归分析：推断问题§8.1再一次正态性假定如果回归分析的目的仅在于对回归模型的参数作点估计，则OLS法就足够了，并不需要对干扰项的概率分布作任何假定。如果我们的目的还在于区间估计和统计推断，那么，我们还需要假定遵循某个概率分布。我们假定这样以来，估计量也服从正态分布，其均值分别为，方差由（7.4.9）至（7.4.16）给出:（7.4.9）（7.4.10）（7.4.11）或者：（7.4.12）其中，r23是X2和X3的样本相关系数：（7.4.13）（7.4.14）或者：（7.4.15）（7.

2、4.16）(用于检验关于真实的假定)不可知，用它的无偏估计代替，则有：（8.1.1）（8.1.2）（8.1.3）均服从自由度为n-3的t分布。这样，我们就能对和进行区间估计和假设检验。例子(*)其中Y——个人消费支出（PCE）——个人可支配（税后）收入（PDI）——以年计的时间代表时间或趋势变量。在对时间序列数据作回归分析时引入趋势变量的原因有：1、观察因变量在时间轴上的变动趋势。2、趋势变量可以代替一个影响Y的基本变量。这个基本变量也许是不可直接观测的，也许是可观测而又得不到或难以得到的数据。比

3、如，技术就是这样一个变量。技术对经济变量会有影响，但却不容易衡量。因此，一个方便的假定是，认为技术是时间的某个函数，可以用时间的延伸代表技术的进步。也可以代表人口，Y随人口的增加而增加，而人口又是时间的某种（线性）函数。3、避免伪相关（spuriouscorrelation）。在（*）中，PCE和PDI常常都存在某种同样的趋势，上升都上升，下降都下降。因此，PCE对PDI回归的较高的，其实并不能反映它们之间的真实关联，它可能仅仅反映出两个变量中有共同的趋势。避免时间序列中的谬误关联有两种办法：第一

4、，假定时间序列表现出一种线性趋势，在模型中引进一个时间或趋势变量。比如（*）就是这样，就反映PDI对PCE的净的影响，除掉了线性时间影响。第二、除去Y和中的趋势成分，再做回归。采用第7章中的三步法：①Y对（时间）回归，得到回归残差；②对（时间）回归，得到回归残差；③做对的回归，此回归的斜率系数将反映Y与之间的真实关联，（在数值上等于）。4、除趋势法（detrending）:是把一个时间序列化为平稳的（stationary）方法之一。它只适用于确定性趋势（deterministictrend），对于

5、随机（可变）趋势[stochastic(orvariable)trend]则要用其它方法（以后再讲）。§8.2例子Ｐ249§8.4检验关于个别偏回归系数的假设在假定下，就可以用t检验统计量对任意一个偏回归系数的假设进行检验。设：利用（8.1.2）式中的t统计量，即可进行检验。如果计算的t值超过选定显著性水平的临界t值就可以拒绝虚拟假设；否则就不拒绝它。结论，t检验与区间估计的结果相同。对于偏回归系数也可做同样的分析。§8.5检验样本回归的总显著性上一节介绍的是个别的（individual）、单独的

6、（separate）假设检验。现在考察这样的假设：这个虚拟假设是关于联合地或同时地等于零的一个联合假设（jointhypothesis）。这样的假设检验被称为对所估计回归线的总显著性（overallsignificance）检验。也就是，检验Y是否与两者有线性关系。在第8.4节中，对单个偏回归系数做显著性检验时，我们暗含地假定，每一个显著性检验都是根据一个不同的（独立的）样本进行的。也就是说，我们暗含地假定，在假设下检验显著性的样本，不同于在假设下检验显著性的样本。TSS=ESS+RSS（8.5.

7、2）TABLE8.2三变量回归的ANOVA表变异来源SSdfMSS来自回归（ESS）2来自残差（RSS）n-3总计n-1可以证明，在的正态性假定下，以及在虚拟假设下，统计量：遵循自由度为2和的F分布。F统计量的作用：可以证明，在的假定下，（8.5.4）再加上一个假定：，便能证明：（8.5.5）因此，如果虚拟假设是真实的，（8.5.4）和（8.5.5）都将对真实给出同样的估计。也就是说，如果Y与关系微不足道，则Y变异的唯一来源是来自所代表的随机势力。换句话说，对Y的联合影响和随机影响毫无区别（来自随

8、机影响）。然而，如果虚拟假设谬误，即确实影响Y，则不能在（8.5.4）和（8.5.5）之间划等号。这时，在适当考虑自由度之后，ESS要相对大于RSS。从而，（8.5.3）的F值对真实斜率系数同时为零的这一虚拟假设，提供了一种检验。，拒绝；否则就不拒绝它。例子：P256。Table8.3F检验的方法可以推广到一般情形：二、F检验的推广给定变量回归模型：检验假设：：所有斜率系数不同时为零计算（8.5.7）如果，则拒绝；否则不拒绝它。其中，是显著性水平为，个分子自由度和个分母自由度的临界