2019年河南重点高中自主招生数学试卷

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1、装订密封线学校姓名考号座号数学试题说明：试卷满分150分，考试时间100分钟，请将答案写到答题卷上，写在本试卷上无效.一、填空题（每小题6分，共60分）1．化简：▲2．解方程的根是▲3．四条线段a，b，c，d的长度比为1：2：3：4，任取其中三条线段，以它们为边能作出三角形的概率是▲4．图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm，如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为▲cm图1图25．若，则的值是▲6．一个长方体的三视图如图所示

2、，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为▲xyA7．如右图，抛物线与双曲线的交点EBCAFD的横坐标是1，则关于的不等式的解集是▲8．把从1开始的连续自然数按如下规律分组：第1行：1第2行：2，3，4第3行：5，6，7，8，9第4行：10，11，12，13，14，15，16……则2017在第▲行.第9题图9．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=▲10．如图，四边形MNPQ中，NP//MQ，NP=2，MN=PQ=3，，正方形

3、ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在四边形MNPQ的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动，则正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与四边形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积是▲BA(M)DCNPQ二、解答题（本大题共6小题，共90分）11．（本小题满分12分）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知，．（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．12．（本小题满分14分）如图，已知A，B两点的坐标

4、分别为，，直线AB与反比例函数的图像交于点C和点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转角（为锐角），得到△，当为多少度时，并求此时线段的长．13．（本小题满分14分）已知抛物线（>0）与轴交于、两点．（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与轴交于点，若D是直角三角形，求D的面积．14．（本小题满分14分）已知在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上有一点E使得∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若

5、∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．15．（本小题满分16分）为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，矩形的边长米，米.（注：取）（1）试用含的代数式表示；（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元.①设该工程的总造价为W元，求W关于的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案

6、，若不能，请说明理由；③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．ABCD16．（本小题满分20分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：．（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽

7、△ABP，请你对于点P处于图中位置时的情形给予证明；ABCDMPlNO（3）是否存在k，使得△AMN的面积等于？若存在，请求出符合条件的k值；若不存在，请说明理由．