2013第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

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1、第十届东南数学奥林匹克解答第一天(2013年7月27日上午8：00－12：00)江西鹰潭1.实数使得方程有三个正实根．求的最小值．（杨晓鸣提供）解设方程的三个正实根分别为，则由根与系数的关系可得，故．由知：．又由知：．因此，当，即方程三个根均为时等号成立．综上所述，所求的最小值为．2.如图，在中，，内切圆与边切于点，交内切圆于另一点，圆的切线交的延长线于点，平行交于点，直线交圆于点，点在线段上，线段与圆交于另一点．证明：．（张鹏程提供）证法1设圆与分别切于点联结，设ST与AI交于点G，则，从而有

2、，所以四点共圆．又，所以四点共圆，从而五点共圆．所以，即9，从而三点共线．直线截，由梅涅劳斯定理知，，又，所以有．①设的延长线交于点，直线截，由梅涅劳斯定理知，．因为平行于，所以，从而有．②由①、②知，，故，所以，∽，，又，所以．证法2设圆与分别切于点，则由知，所以，从而．又，所以三点共线．以下同证法1．3.数列满足：．证明：该数列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．（陶平生提供）证由得，于是，9故．从而，可见，故猜想．令，于是，①其中．进一步有．②由①、②知，即．由于，根据递推式可知，

3、即．证毕．4.十二个杂技演员编号分别为，将他们按适当方式分别围成两个圈，每圈6人，其中圈的每个演员分别站在圈相邻两个演员的肩膀上．如果圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？（注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．）（陶平生提供）解将组中的元素和分

4、别记为，则有，所以，．9显然有，，设，其中，则，且（若，则，矛盾）．(1)如果，则，于是或，即或．若，则，由于中含，故中必须1、3邻接，1、5邻接，5、7邻接，8、3邻接，这时只有唯一的排法，由此得到一个塔：若，则，类似知中必须1、2邻接，5、6邻接，4、8邻接，这时有两种排法，得到两个塔：(2)如果，则，这时或，即或．若，则，为得到中的，中必须1、3、9两两邻接，这不可能；若，则，为得到中的，中必须2、4邻接，1、7邻接，9、3邻接，于是有两种排法，得到两个塔：(3)如果，则，这时，，即，，为

5、得到中，中必须6、2邻接，6、3邻接，10、1邻接，10、2邻接，只有唯一排法，得到一个塔：9因此，结构不相同的“塔”共有个．第十届东南数学奥林匹克解答第二天(2013年7月28日上午8：00－12：00)江西鹰潭1.设，表示不超过的最大整数．对整数，若关于的方程有实数解，则称为好数．求集合中好数的个数．（吴根秀提供）解先指出两个明显的结论：(a)若为正整数，为实数，则；(b)对任意整数与正偶数，有．下面我们求解原问题．在结论(a)中令并求和，可知，这表明方程有实数解当且仅当方程有整数解．以下只

6、需考虑为整数的情况．由于，①所以单调递增．下面找整数，使得．注意到，所以．又由于，，9故．因此中的好数就是中的奇数．在①中令，由结论(b)知，因此，这说明中恰有一个为奇数，从而中恰有个奇数，即集合中的好数有587个．2.设为大于1的整数．将前个素数从小到大依次记为（即，），令．求所有正整数，使得为偶数，且恰有个不同的正约数．（何忆捷提供）解由已知得，注意到，故可设，其中．此时有，故不同的正约数个数为．由已知得．①下面数学归纳法证明：满足①的数组必为．(1)当时，①变为，其中．若，则，无非负整数满

7、足；若，则，可得．从而，即时结论成立．(2)假设时结论成立（其中），则当时，①变为．②若，则考虑到，故②的左边不能被整除，但此时②的右边是的倍数，矛盾！若，则②变为9．注意到为奇素数，因此一方面为偶数，从而上式左边为偶数，而另一方面，右边为奇数．从而必有．但此时，故左边是4的倍数，但右边不是4的倍数，仍矛盾！由上述讨论知，只能，此时②中，因而．由归纳假设知．从而，即当时结论成立．由(1)、(2)可断定，故所求正整数为．3.将正方形任意一个角上的正方形挖去，剩下的图形称为“角形”（例如，图1就是一

8、个角形）．现于方格表（图2）中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数的最大值，使得无论以何种方式放置了个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形．（何忆捷提供）解首先有，这是因为，若按图1的方式放置8个角形，则不能再于方格表中放入另一个角形．下面证明：任意放置7个角形后，仍可再放入一个完整的角形．将方格表的第5、6行及第5、6列遮住，留出4个9正方形．当放置7个角形后，由于每个角形不能与两个上述正方形相交，故根据抽屉原理知，必存在一个的正方形，使得与相交