《向量的坐标表》PPT课件

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1、三、向量的坐标表示在给定的空间直角坐标系中，取三个分别与x轴、y轴、z轴正方向相同的单位向量I、j、k,称其为空间直角坐标系下的三个基本单位向量。对于任意一个a，我们来定义它的坐标。将a平移，使原点O为a的始点，终点记为M。则OM=a(图5－9），过M点作垂直于三个坐标轴的平面，分别交x轴、y轴、z轴于点A、B、C。则OA、OB、OC分别称为OM在坐标轴上的分向量。图5－9OMyxzijk记x、y、z分别是A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标，由数乘知，显然有OA=xi,OB=yj,OC=zk故有a=OM=xi+yj+zk这就是向量的坐标表示式。也可简记做a={x,y,z}并称x,y,z

2、为向量a的坐标.由空间点的坐标定义知，起点在原点的向量OM的坐标xyz也恰是终点M的坐标，并且易验证向量的坐标表示是唯一的。下面来讨论向量运算的坐标表示。设a={x1,y1,z1}=x1i+y1j+z1kb={x2,y2,z2}=x2i+y2j+z2k则有a±b=(x1i+y1j+z1k)±(x2i+y2j+z2k)=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k={x1±x2,y1±y2,z1±z2}λa=λ(x1i+y1j+z1k）=λx1i+λy1j+λz1k={λx1,λy1,λz1k}例2设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)为空间两点（图5－10），求AB的坐

3、标表示。图5－10xyzoAB解所以即始点不在原点的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。例3已知两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，求线段P1P2的中点P的坐标。解如图5－11所示图5－11OxyzP1P2P设P(x,y,z1)为P1P2的中点，所以有2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.

4、则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹