《向量的投影》PPT课件

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1、§2.2向量的投影及坐标表示一、向量的投影及其性质三、向量在坐标轴上的分量与向量的坐标二、空间直角坐标与点的坐标五、小结四、向量的模、方向角和方向余弦一、向量的投影及其性质定义6证于是类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.定义7设有两个非零向量α，β，任取空间一点O，作OA=α,OB=β，规定不超过π的∠AOB(设φ=∠AOB，O≤φ≤π)称为向量α与β的夹角.αβoAB记作л空间一点在轴上的投影定义8设已知空间一点A以及一轴l，通过点A作轴l的垂直平面π，那么平面π与轴l的交点A′叫做点A在

2、轴l上的投影.空间一向量在轴上的投影或，轴l叫做投影轴定义9已知向量AB的起点A和终点B在轴l上的投影分别为A’和B’，那末轴l上的有向线段A’B’的值A’B’叫做向量AB在轴l上的投影.=A’B’即证性质1(投影定理)向量的投影具有下列性质：性质1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；性质2由下面图形很容易证明该性质.推广：性质3向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积，即Prjlα=λPrjlα证设α与l轴的夹角为φ，λ>0λαφ1=φφ1=π-φλααλ<0λα与l轴的夹角为φ1，当λ>0时，φ1=φ=λPrj

3、lα；由性质1，Prj(λα)=

4、λα

5、cos(φ1)=λ

6、α

7、cosφ当λ<0时φ1=π-φλ>0λαφ1=φφ1=π-φλααλ<0=λPrjlα；Prj(λα)=

8、λ

9、.

10、α

11、cos(φ1)=-λ

12、α

13、(-cosφ)当λ=0时=λPrjlα；Prj(λα)=0横轴纵轴竖轴定点二、空间直角坐标系与点的坐标这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称为坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，且一般具有相同的长度单位.横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系

14、.即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴的正向.这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系.点O叫做坐标原点(或原点).Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间直角坐标系的八个卦限空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点空间两点间的距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为解设P点坐标为所求点为三、向量在坐标轴上的分量与向量的坐标我们把起点在坐标原点的向量r=OM称为点M的向径.MABC向量OM在坐标轴上的投影向量分别为OA、OB、OC,它们称为向量OM在x轴、y轴和z轴上的分向量.在坐标轴ox、oy、oz上，以O为起点分别取三

15、个单位向量i、j、k,其方向与三坐标轴的正向相同，称它们为基本单位向量.显然，OM=xi+yi+zk，其中x,y,z是向径OM在坐标轴上的投影，也就是终点M的坐标.MABCijk定义10设空间直角坐标系中有向量α，把它平移，使起点移到坐标原点，M为向量α的终点，则终点M的坐标x、y、z也叫做向量α的坐标.记作α=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量的坐标形式.α=xi+yj+zk中xi,yj,zk分别叫做向量α在x轴、y轴、z轴上的分向量.xi+yj+zk的称为α坐标分解式。MABCijk向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别

16、:注意向量α在坐标轴上的投影是三个数x、y、z,而向量α在坐标轴上的分向量是三个向量：xi=(x,0,0),yj=(0,y,0),zk=(0,0,z).利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及向量与数的乘法的运算如下：设α=x1i+y1j+z1k=(x1,y1,z1),α+β=（x1+x2）i+（y1+y2）j+（z1+z2)k=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).α-β=（x1-x2)i+(y1-y2)j+(z1-z2)k则有：=(x1-x2,y1--y2,z1-z2)β=x2i+y2j+z2k=(x2,y2,z2).λα=λ(x1+y1j+z1k)=(λx1

17、,λy1,λz1)(λ为实数)=λx1i+λy1j+λz1k例6两定点为M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，求向量M1M2的坐标.解由向量的三角形法则可得M1M2=OM2-OM1，而OM2=(x2,y2,z2),OM1=(x1,y1,z1)，所以M1M2=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)向量M1M2的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：特殊地：由上例知：对于空间任意两定点为M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，设于是：当x1,y1,z1之一为0，当x1,y1,z1有两个为0，如x1