第三章 水动力学基础2

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1、第八节流体微团运动的分析流体微团（质点）运动＝平移＋转动＋线变形＋角变形Translation+rotation+linear(normal)deformation+angular(shear)deformationACBDdxxdyxy一．微团运动的基本形式以平面流场中一矩形微团ABCD为例D′A′B′C′（1）各点均以速度ux、uy平移dt时间后，ABCD变形为dq2dq1（2）线变形AB在x方向拉伸，线应变线变形速度（线变率）=单位时间内在单位长度上的线变形rateofnormalstrainx方向的线变形速度同理

2、y方向的线变形速度z方向的线变形速度（3）转动与角变形AB的转角AC的转角若dq1=dq2=db，为单纯转动若dq2=－dq1=da，为单纯角变形（一半）dadadbdb一般情况：dq1=da+dbdq2=db－da解得微团转动角速度angularvelocity，，角变形速度（角变率）rateofshearstrain=Oxy面上角变形速度的一半=Oyz面上角变形速度的一半=Ozx面上角变形速度的一半二．有旋流和无旋流有旋流rotationalflow：（wx、wy和wz至少有一个不为0）无旋流rotationalfl

3、ow：，即wx=wy=wz=01．无旋流一定是有势流动（势流potentialflow），即：存在流速势函数(velocitypotentialfunction)j(x,y,z,t)，满足，，反之，有旋流不存在流速势函数。2．流动有势（无旋）的判别条件：，，Oxy面上的平面流动的有势（无旋）条件：例1：均匀流ux=ux(y)，uy=uz=0，有势or有涡？yux(y)解：≠有涡流动，微团有顺时针方向转动另外，有角变形，没有线变形xyurq例2：涡旋运动u=u(r)，有旋or无旋？解：速度分量（1）若u=k/r，则，判据：

4、∴无旋◆涡旋运动也可以是无旋的（势涡）有旋、无旋看微团是否转动。另外，，有变形（2）若u=kr，则ux=－ky，uy=kx，有涡,wz=k=常数exy=eyx=exx=eyy=0，没有变形刚体转动第三节连续性微分方程——流体连续性微分方程不可压缩流体的连续性微分方程第四节理想流体的运动方程运动方程从牛顿第二定律导出：理想流体：切应力=0；压强p（流体动压强）与作用面方位无关。粘性流体：切应力≠0压强大小与作用面有关应力张量xyzMdydxdz一．理想流体运动微分方程的推导围绕M(x,y,z)取微小正交六面体作为脱离体，应

5、满足x方向上即同除以rdxdydz得同理——理想流体运动微分方程组（欧拉运动方程）Euler’sequationofmotion◆方程成立的条件：理想流体（可压缩，非恒定）◆四个未知量，可以联合连续性方程和定解条件予以求解。（对可压缩流体还须补充r与p的关系式）二．欧拉运动方程的积分代数方程有：1．伯努利积分条件：①恒定流；→，……②质量力有势；，，（重力U=－gz）③流体为理想、不可压缩均质流体（r=常数）则在同一条流线上（不同流线常数值不同）2．拉格朗日－柯西积分条件：质量力有势，理想、不可压缩均质流体，有势流动则在

6、整个流场中若流动是恒定的，则在整个流场中（欧拉积分）当质量力为重力时，或或——伯努利方程（能量方程）条件：重力作用下的理想、不可压缩流体的恒定流动，沿同一流线成立或在整个有势流动中成立。§3－5粘性流体的运动微分方程xyzpyypxxpzztyztyxtzytzxtxztxypzztzytzxpyytyztyxpxxtxztxy一．粘性流体的应力状态应力张量tensorofstresses（二阶张量）1．可以证明切应力互等：，，即应力张量是对称的，有6个独立分量。2．pxx+pyy+pzz是应力张量的不变量，其大小与坐标

7、系的选择无关，动水压强二．应力形式的流体运动方程yxzdydzdx以M(x,y,z)为中心，取微小正交六面体为脱离体，应用牛顿第二定律x方向上同除以rdxdydz，得同理——应力形式的流体运动微分方程组Generalequationsofmotion◆方程成立的条件：连续介质。（任何流体，任何流动）◆须补充应力与变形率的关系式——本构关系式。Constitutiveequatuin三．牛顿流体的应力－变形率关系xyux壁面附近，当ux=ux(y)，uy=uz=0牛顿内摩擦定理即推广到三维流动中，得不可压缩流体的广义牛顿内

8、摩擦定理◆无粘性或无变形时，pxx=pyy=pzz=p将本构关系式代入到运动方程中◆拉普拉斯算子得不可压缩粘性流体的运动方程（Navier-Stokes方程）TheNavier-Stokesequatuions质量力压力梯度项粘性力项惯性力项（非恒定项＋对流项）结合连续性方程，共4个方程4个未知数第九节恒定平面势流（