《其它展开》PPT课件

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1、其它展开一、周期为2L的周期函数展开成Fourier级数前面我们所讨论的都是以展开成Fourier级数，但在科技应用中所遇到的周期函数大都是以T为周期，因此我们需要讨论如何把周期为T=2l的函数展开为Fourier级数若f(t)是以T=2l为周期的函数，在[-l,l)上满足Dirichlet条件代入傅氏级数中定理在连续点处级数收敛于f(x)本身在间断点处级数收敛于则有则有证明解二、非周期函数的展开前面我们研究了周期为T=2l的函数展开成Fourier级数，其中所涉及到的函数都是定义在无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函数，或定义在有限区间上的函数展开成F

2、ourier级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形讨论1。周期延拓的情形设函数f(t)在[-l,l)上满足Dirichlet条件为了将其展开为Fourier级数，需要将f(t)在[-l,l)以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为l的函数F(t)使得F(t)在[-l,l)上与f(t)恒等，将F(t)展开成Fourier级数而在[-l,l)的连续点处，有若t0是[-l,l)内的间断点，则在该点处，级数收敛于需要注意的是区间的两个端点，虽然对f(t)来说，在左端点右连续，右端点左连续，但延拓成F(t)以后，在就不一定连续，由收敛定理，级数收敛于因此若f(t)在[

3、-l,l)上左端点的右极限等于右端点的左极限，即展开式在此时Fourier级数的收敛域包括区间的端点，否则Fourier级数的收敛域不包括区间的端点应该指出，这里所要展开的是f(t)要得到的是第二个级数，在实际计算中并不需要得到第一个级数，虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的收敛域不同，F(t)是延拓到整个数轴上的情形，而f(t)的展开式只局限于[-l,l]，因此在讨论f(t)的展开式的收敛域时，不要扩展到f(t)的定义域之外解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和解另解2。正弦级

4、数和余弦级数定义非周期函数的周期性开拓如果函数f(t)只是定义在[0,l]上，且在[0,l]上满足Dirichlet条件，需要展开成Fourier级数，就要先在[-l,0）上补充定义，或者说构造一个新函数F(t)使得在区间[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法将F(t)展开成Fourier级数，当限制自变量在[0,l]上时，就得到f(t)的Fourier展开式从理论上讲，构造函数F(t)时，所补充的在[-l,0）上有定义的函数可以任意给出，只要它满足Dirichlet条件，但往往由于所给函数的不同会使得计算变得烦琐，因此在实际应用中常采用偶延拓

5、和奇延拓的方法则有如下两种情况奇延拓:偶延拓:解(1)求正弦级数.(2)求余弦级数.一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点三、小结1以2L为周期的傅氏系数;2利用变量代换求傅氏展开式;3求傅氏展开式的步骤;（1）.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);（2）.求出傅氏系数;（3）.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于4非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;5、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;