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时间:2019-07-02
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1、其它展开一、周期为2L的周期函数展开成Fourier级数前面我们所讨论的都是以展开成Fourier级数,但在科技应用中所遇到的周期函数大都是以T为周期,因此我们需要讨论如何把周期为T=2l的函数展开为Fourier级数若f(t)是以T=2l为周期的函数,在[-l,l)上满足Dirichlet条件代入傅氏级数中定理在连续点处级数收敛于f(x)本身在间断点处级数收敛于则有则有证明解二、非周期函数的展开前面我们研究了周期为T=2l的函数展开成Fourier级数,其中所涉及到的函数都是定义在无限区间上,但在实际应用中却需要对非周期函数,或定义在有限区间上的函数展开成F
2、ourier级数,下面我们就来讨论这种情况,分两种情形讨论1。周期延拓的情形设函数f(t)在[-l,l)上满足Dirichlet条件为了将其展开为Fourier级数,需要将f(t)在[-l,l)以外进行周期性延拓,也就是作一个周期为l的函数F(t)使得F(t)在[-l,l)上与f(t)恒等,将F(t)展开成Fourier级数而在[-l,l)的连续点处,有若t0是[-l,l)内的间断点,则在该点处,级数收敛于需要注意的是区间的两个端点,虽然对f(t)来说,在左端点右连续,右端点左连续,但延拓成F(t)以后,在就不一定连续,由收敛定理,级数收敛于因此若f(t)在[
3、-l,l)上左端点的右极限等于右端点的左极限,即展开式在此时Fourier级数的收敛域包括区间的端点,否则Fourier级数的收敛域不包括区间的端点应该指出,这里所要展开的是f(t)要得到的是第二个级数,在实际计算中并不需要得到第一个级数,虽然两个展开式形式上完全相同,但它们的收敛域不同,F(t)是延拓到整个数轴上的情形,而f(t)的展开式只局限于[-l,l],因此在讨论f(t)的展开式的收敛域时,不要扩展到f(t)的定义域之外解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和解另解2。正弦级
4、数和余弦级数定义非周期函数的周期性开拓如果函数f(t)只是定义在[0,l]上,且在[0,l]上满足Dirichlet条件,需要展开成Fourier级数,就要先在[-l,0)上补充定义,或者说构造一个新函数F(t)使得在区间[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法将F(t)展开成Fourier级数,当限制自变量在[0,l]上时,就得到f(t)的Fourier展开式从理论上讲,构造函数F(t)时,所补充的在[-l,0)上有定义的函数可以任意给出,只要它满足Dirichlet条件,但往往由于所给函数的不同会使得计算变得烦琐,因此在实际应用中常采用偶延拓
5、和奇延拓的方法则有如下两种情况奇延拓:偶延拓:解(1)求正弦级数.(2)求余弦级数.一般而言,奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点三、小结1以2L为周期的傅氏系数;2利用变量代换求傅氏展开式;3求傅氏展开式的步骤;(1).画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);(2).求出傅氏系数;(3).写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于4非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;5、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;
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