统计学之一元线性回归模型

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1、一元线性回归模型资料：已知我国粮食生产量Y（万吨）、农业机械总动力X（万千瓦）1978~1998年的样本观测值见表一。表一年份XY197811749.930477.01197913379.633212198014745.732055.9919811567932502.01198216614.335450.01198318022.138727.98198419497.240731.02198520912.537910.9919862295039150.9919872483640298.01198826575394081

2、9892806740755199028707.744624199129388.643529.01199230308.444265.79199331816.645648.82199433802.544510.09199536118.146661.8199638546.950453.5199742015.649417.17/7199845207.751229.5注：直接资料来源，张晓桐《计量经济学基础》2007年版，原始资料来自《天津统计年鉴》，1999年。求一元线性回归模型并计算R2的值以及分析1经济意义。解：根据表一

3、，利用excel作出散点图，其中纵坐标Y表示粮食生产量，横坐标X表示农业机械总动力。图见图一：农业机械总动力与粮食生产量散点图。图一根据观测和借助excel（如图二）变量X和变量Y之间的相关关系为线性相关，有线性回归的趋势。因此可以用建立样本回归模型。图二7/7①进一步可以得样本回归方程：②在②中表示样本观测值的估计值或者拟合值。在①中残差项③为了研究X与Y之间的线性关系，我们用最小二乘法（OLS）求和。令④根据微积分多元函数极值原理，要使达到最小，④式对和的一阶偏导数都等于零。即：⑤∵7/7⑥∴⑦即⑧⑧式即为正规方

4、程组，解方程组得到：⑨由于X和Y的数值比较大，人工计算比较麻烦，为图方便，将中所需要的数据用excel计算出来，见表二：表二年份XYXYX2197811749.930477.01358101819.8138060150197913379.633212444363275.2179013696.2198014745.732055.99472688011.7217435668.519811567932502.01509599014.8245831041198216614.335450.01588977101.1276034

5、964.5198318022.138727.98697959528.4324796088.4198419497.240731.02794140843.1380140807.8198520912.537910.99792813578.4437332656.319862295039150.99898515220.552670250019872483640298.011000841376616826896198826575394081047267600706230625198928067407551143870585787

6、756489199028707.7446241281052405824132039.3199129388.643529.0112792566638636898107/7199230308.444265.791341625270918599110.6199331816.645648.8214523902461012296036199433802.544510.0915045523171142609006199536118.146661.816853355591304517148199638546.950453.5194

7、48260191485863500199742015.649417.120762891071765310643199845207.751229.523159678672043736139合计548940.4861018.62363043340716196915014平均数26140.0241000.891125258734771281667.3由表知：，，，，，，将上面的这些值代入⑨式，得于是样本回归方程如下：⑩现在利用excel检验一下计算结果，如图三：图三如图所示，结果与⑩相同，说明计算结果正确。7/7，其中和分

8、别叫做对应的样本与其平均值的离差。由公式：离差平方和（TSS）=回归平方和（RSS）+残差平方和(ESS),由于，所以TSS=RSS+ESS可以表示为：将两边同时除以得由得到而样本可决系数，所以将：，，代入式，并代入相应的值，求得：对经济意义的分析：是样本回归方程的斜率，它说明农业机械总动力每增加1万千瓦，我国粮食产量增加0.608万吨；是样本