数学模型练习与思考题

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1、第一部分练习与思考题第1章建立数学模型1.1在稳定的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何?(稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页)1.2在商人们安全过河问题中,若商人和随从各四人,怎样才能安全过河呢?一般地,有名商人带名随从过河,船每次能渡人过河,试讨论商人们能安全过河时,与应满足什么关系。(商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页)1.3人、狗、鸡、米均要过河,船需要人划,另外至多还能载一物,而当人不在时,狗要吃鸡,鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河?1.4有3对夫妻过河,船至多载两人,条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河?1.

2、5如果银行存款年利率为5.5%,问如果要求到2010年本利积累为100000元,那么在1990年应在银行存入多少元?而到2000年的本利积累为多少元?1.6某城市的Logistic模型为,如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990年人口总数为8000000人,试求该市在未来的人口总数。当时发生什么情况。1.7假设人口增长服从这样规律:时刻的人口为,最大允许人口为,到时间内人口数量与成正比。试建立模型并求解,作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。1.8一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间?如何求出这些时间?1.9你在十层楼上欲乘电梯下楼,如

3、果你想知道需要等待的时间,请问你需要有哪些信息?如果你不愿久等,则需要爬上或爬下几个楼层?1.10居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔,水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位,你需要哪些信息?第2章初等模型2.1学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:(1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.(2)2.1节中的Q值方法.(3)d’Hondt方法:将各宿舍的人数用正整数

4、相除,其商数如下表:12345…ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.(4)你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.动物体重()心率(次/分)田鼠家鼠兔小狗25670200420200020550001202.2在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种

5、想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.(1)分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定,这些成本中有的与重量W成正比,有的与表面积成正比,还有与W无关的因素。(2)给出单位重量价格C与W的关系。画出它的简图,说明W越大C越小,但是随着W的增加C减小的程度变小。解释实际意义是什么。2.3一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用与测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一

6、种鲈鱼,并且得到了8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(cm)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型,再用数据确定参数。2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。2.5雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比,试确定雨速与雨滴质量的关系。2.6生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全

7、身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验。大狗羊人马300008550000707000072450000382.7举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩,可供检验你的模型。组别最大体重抓举挺举总成绩()()()()123454132.5155287.559137.5170307.564147.5187.533570162.5

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