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1、数学推理与证明第十二讲数学推理、证明概述 数学推理、证明学习的心理分析 数学推理、证明学习的基本要求和教法探讨证明是数学科学的重要部分，是数学知识得以确证的唯一方式。数学证明是中学数学的一个及其重要的部分，不论是代数、几何，或者是微积分均要涉及到证明，没有证明就没有数学。数学推理、证明及其教学形式逻辑的基本规律同一律、矛盾律、排中律充足理由律亚里士多德Aristotle(384-322BC)哲学著作：《形而上学》物理学著作：《物理学》《论生灭》《论天》《天象学》《论宇宙》生物学著作：《动物志》《论动物的历史》《论灵魂》逻辑学著作：《范畴篇》《分析篇
2、》伦理学著作：《尼各马可伦理学》《大伦理学》《欧德谟斯伦理学》《政治学》《诗学》《修辞学》注：基本逻辑原理——同一律、矛盾律和排中律成为数学间接证明的核心，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论基础。G.W.Leibniz,1646-17161646年7月1日生于莱比锡一个教授家庭精通拉丁文和希腊文在莱比锡大学学习法律，开始接触伽利略、开普勒、笛卡尔、帕斯卡及巴罗等人的科学思想1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位1672-1676年，巴黎居留博学多才，著作涉及逻辑学、力学、光学、数学、哲学、法律、语言学、地质、机械、外交、神学1671年，制造出
3、“算术计算机”柏林科学院的创建者和首任院长，彼得堡科学院和维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。1672年后开始研究数学1716年去世充足理由律在同一个思维过程中，思维对象必须保持同一；使用的概念必须保持同一；在同一时间，从同一方面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一。它的公式是“A就是A”或“p→p”。例子⑴多项式能否分解？⑵当a、b是非负实数时，公式成立。⑶在三角形内角和公理中，角的概念是“从一点引出两条射线所成的0°到180°以内的角”。同一律同一律的作用在于保证思维的确定性。如果违背了同一律的要求,那就会破坏思维的一贯性,造成思维混乱。在同
4、一个推理、证明的过程中,就会犯“偷换概念”、“偷换论题”等逻辑错误。从表面形式上看,“A是A”好像是枯燥无味的简单的同语反复。其实不然。同一律有两点具体的要求:一是思维对象要保持同一,所考察的对象必须确定,要始终如一,中途不能变更;二是表示同一对象的概念要保持同一，要以同一概念表示同一思维对象,不能用不同的概念表示同一对象，也不能把不同的对象混同起来用同一个概念来表示。还需要指出的是同一律所要求的“同一”是相对的,有条件的,是在一定条件下的“同一”。条件变了,认识也相应地有所发展。如“方程x2+1=0没有根”这个判断,当数系由实数放大到复数后就要引
5、起变化。在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的。其公式是“A不是A”或“(p∧p)”例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。注意：⑴矛盾律只是指两个矛盾的判断是不相容的，即不能同时为真，但是两个矛盾的判断可能同假。例如空间两直线相交与平行。⑵矛盾律所讲的矛盾是逻辑上的矛盾，与现实的矛盾是两回事，不能混为一谈。矛盾律矛盾律是用否定的形式来表达同一律的思想内容的,它是同一律的引申,同一律说A是A,矛盾律要求思维首尾一贯,不能自相矛盾,实际上也是思维确定性的一种表现。因
6、此,矛盾律是从否定方面肯定同一律的。违背矛盾律要求的逻辑错误在于,在同一个思维过程中,把A与非A同时肯定了下来,因而造成了自相矛盾的困境。如众所周知的一个例子:那个卖矛、盾的楚人所说的“任何东西都不能穿过我的坚实的盾”、“我的锐利的矛能穿过任何东西”,是互相矛盾的两个判断。这位楚人不能自圆其说,是自己打自己的嘴巴,违背了矛盾律的要求。矛盾律中所谓的矛盾是指思维过程中的思维混乱,即同时断定A与非A都真。对这种逻辑矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辩证矛盾排除在一切思维之外,更不否认世界固有的矛盾。在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断
7、这两个判断必有一个是真的，它的公式是“或者是A或者是A”或“pp”.例如：要证明“不是有理数”，只要证明“是有理数”不真就可以了。注意：对于假言命题“p→q”，情况并非如此简单。“排中”就是排除第三者,或A或非A,二者必居其一,排中律要求人们的思维要有明确性,不能含糊不清,不能模棱两可。排中律违背排中律要求的逻辑错误在于,同时否定了A,又否定了,例如,楚人既夸口矛又夸口盾,当别人反问他“用你的矛穿你的盾如何”时,他既不能说:我的矛能穿过我的盾”,又不能说“我的矛不能不穿过我的盾”,这就表示他否定了A又否定了,从逻辑上说,违背了排中律就要犯模棱两可的
8、逻辑错误。排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时,根据排中律,只要证明这一判断的矛盾判断是假的就可以
