《专转本数学》PPT课件

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1、引言第三章一元函数积分学积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系．本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨式),解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分．本章主要内容：第一节不定积分第二节不定积分的计算第三节定积分第四节定积分的计算第五节广义积分3.1.1不定积分的概念3.1.2不定积分的基本公式和运算法则第一节不定积分在小学和中

2、学我们学过逆运算：如：加法的逆运算为减法乘法的逆运算为除法指数的逆运算为对数3.1.1不定积分的概念问题提出微分法:积分法:互逆运算定义1若在某一区间上，，则在这个区间上，函数F（x）叫做函数f(x)的一个原函数（primitivefunction）一个函数的原函数并不是唯一的，而是有无穷多个．比如，(sinx)′＝cosx所以sinx是cosx的一个原函数，而sinx＋C（C可以取任意多的常数）是cosx的无穷多个原函数．一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x)的一个原函数，则等式[F(x)+C]′＝F′(x)＝f(x)成立（其中C为任意常数），从而一

3、簇曲线方程F(x)＋C是f(x)无穷多个原函数．问题提出如果一个函数f(x)在一个区间有一个原函数F(x)，那么f(x)就有无穷多个原函数存在，无穷多个原函数是否都有一致的表达式F(x)＋C呢？定理1:若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成F(x)＋C（C为任意常数）．思考：如何证明？YESx称为积分变量f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式其中∫称为积分号，C称为积分常数定义2：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分（indefiniteintegral）,记为∫f（x）

4、dx＝F（x）＋C例1求函数f(x)＝３x２的不定积分例2求函数f(x)＝１/x的不定积分由于函数f(x)的不定积分F(x)＋C中含有任意常数C，因此对于每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线．因为C可以取任意值，因此不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，即F(x)＋C．二、不定积分的几何意义因为F′(x)＝f(x)，这说明，在积分曲线簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x＝x０点处有相同的斜率f(x０)，所以对应于这些点处，它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数．因此，积分曲线簇y＝F(x

5、)＋C中每一条曲线都可以由曲线y＝F(x)沿y轴方向上、下移动而得到二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义例3求经过点（１，３），且其切线的斜率为２x的曲线方程．3.1.2不定积分的基本公式和运算法则一、不定积分的基本公式由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算．因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式．基本积分表(k为常数)例求解:原式=例求解:原式=关于不定积分，还有如下等式成立：１［∫f(x)dx］′＝f(x)或d∫f(x)dx＝f(x)dx∫F′(x)dx＝F(x)＋C或∫dF(x)＝F(x)＋C二、不定积分的运算法则１不为零

6、的常数因子，可移动到积分号前∫af(x)dx＝a∫f(x)dx（a≠０）２两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx例4求解：原式=例5求解：原式例6求解：原式=例7求解：原式=课堂练习课堂思考本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。下一节3.1节课堂练习3.1节课堂思考３.２不定积分的计算利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法与分部积分法３.２不定积分的计算3.2.1换元积分法3.2.4*积分表

7、的使用3.2.3*有理函数积分简介3.2.2分部积分法3.2.1换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来.例如想到基本积分公式若令u＝４x，把４x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来又如u=2x第一类换元法则有换元公式例8求解：原式=推广：解：例9求解：原式=例10求解：原式=例11求解：原式=类似可得二、第二类换元积分法第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基

8、本积分公式