《A21导数的概念》PPT课件

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1、第二章导数与微分导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。本章内容包括：两个概念——导数与微分；六个法则——导数的四则运算法则，复合函数求导法则，反函数求导法则；若干导数应用问题。§2.1导数的概念导数的定义用定义求导数导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系1.变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为：ΔS=S(t+Δt)-S(t)在时间

2、间隔Δt内，质点运动的平均速度为:平均速度与Δt的取值有关，一般不等于质点在时刻t的速度v，但Δt的值愈小，愈接近于t时刻的速度v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:一、问题的提出例自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得自由落体运动的路程S是时间t的函数：2.曲线的切线问题割线的极限位置——切线位置MN设光滑曲线y=f(x),定义曲线M点的切线:作割线MN,并令点N沿曲线趋向于点M,此时割线MN绕点M旋转,而趋向极限位置MT,直线MT称为曲线C在点M处的切线.T例f(x)=x2,

3、M(1,1),则M点处的切线方程:y-1=k(x-1)二、导数的定义定义其它形式即关于导数的说明：右导数:4)单侧导数左导数:例:三、由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、导数的几何意义和物理意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:1.几何意义例解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的变化率为物体的

4、瞬时速度.交流电路:电量对时间的变化率为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的变化率为物体的线(面,体)密度.电流对时间的变化率为电磁感应.五、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证举例0例如,y=

5、x

6、连续函数未必可导.不可导也可能有切线。01例如,但有切线x=1例如,011/π－1/π例解解:因为1.设存在,且求所以抽象函数求导数用导数定义例在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.例2.设故例设f(x)在点x=a处可导，求.解：例设f(

7、x)=(x－a)φ(x),其中φ(x)在x=a处连续,求f’(a).例解例.设函数f(x)在x=0的某邻域内可导,且解.已知f(x)在x=1处可导，试确定a,b的值.解：∵可导必连续分段表达的函数求导用导数定义例设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.六、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否

8、存在且相等.