高三一轮：取球问题

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1、取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”（一次性抽取、逐一不放回抽取）3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元

2、素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数的分布列，期望和方差-6-例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3

3、个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球（1）求取出的4个球中没有红球的概率（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．-6-例4：袋中装有若干个

4、质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望例5：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中①摸出3个白球的概率②获奖的概率（2）求在三次游戏中获奖次

5、数的分布列与期望-6-三、历年好题精选1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．2、（2014，重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上

6、的数字完全相同的概率；(2)表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望．(注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数)-6-习题答案：1、解析：（1）①设顾客所获的奖励额为（2）可取的值为的分布列为20600.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为．（2）每个顾客平均奖励额为元，可知期望有可能达到的只有方案或，分别分析以下两种方案：方案一：，则的取值为方案二：，则的取值为由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.2、解析：（1）设事件为“3张卡片数字完全相同”-6-（2）可取的值为

7、的分布列为：1233、解析：（1）设事件为“一个2号球，一个3号球”（2）可取的值为的分布列为：34564、解析：（1）设事件为“3个小球上的数字分别是1,2,3”-6-（2）设事件为“3个小球上的数字恰有2个相同”（3）可取的值为的分布列为：2345-6-