阿氏圆作法及应用

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1、阿氏圆几何画板作法及应用我们知道，到两定点F1、F2的距离之和为定值（大于F1F2）的点M的轨迹为椭圆，而距离之差为定值（小于F1F2）的点M的轨迹为双曲线，那么圆是否有相类似的结论呢？答案是肯定的，事实上满足到两定点F1、F2的距离之比为定值t(t>0且t≠1)点M的轨迹为圆，这个结论是阿波罗尼(Apollonius，约前260～前190)发现的，所以往往称为阿波罗尼圆。但圆的这一性质比较“隐晦”，为帮助学生直观理解需要我们创设“所见即所得”的教学情境，本文以几何画板5.0为例谈谈在画板环

2、境中阿波罗尼圆的构造方式，并与读者分享画板中自定义工具功能的实现与应用。一、阿波罗尼圆的画板实现1.几何构造法实现阿波罗尼圆步骤1、构造一直线上两点F1、F2，新建参数t，其初值赋为2；图1步骤2、度量计算并标记为比值，双击点F1标记为中心，选中F2按标记比值缩放得到点P；步骤3、度量计算并标记为比值，双击点F1标记为中心，选中F2按标记比值缩放得到点得到点Q；步骤4、构造线段PQ并构造线段PQ的中点C，以C为圆心以P为圆上一点构造圆C。试试效果如何？取圆C上任意一点M构造线段MF1、MF2

3、，并先后选中两线段度量比值，拖动点M会发现比值不变并且与参数t值恒相等（如图1所示）。图22.解析构造法实现阿波罗尼圆步骤1、在x轴上任取两点F1、F2，度量其横坐标将标签分别设为x1、x2，新建参数t初值赋为3；步骤2、计算，选中后点击〖绘图〗菜单中的〖在轴上绘制点〗命令，在弹出窗口中选择“绘制”按纽得到点P；步骤3、计算，重复步骤2可得到点Q；步骤4、同方法一，以PQ为直径构造圆C。我们也可仿照方法一验证效果（如图2所示）。3.实现方法构造详解及比较图3从以上构造过程我们可以发现，确实阿波罗尼

4、圆关键在于找到圆与直线F1F2的交点P、Q（因为圆C以PQ为直径）。事实上，P、Q两点一个在线段F1F2内一个在线段F1F2外，于是这两个点便称为圆的内分点、外分点；更进一步地，如果参数t>1，则Q点在F1F2的延长线上，此时圆C偏向F2一侧；如果0

5、法一将点F2以F1为中心进行放缩属于几何构造，而放缩比例分别确定为、却是考虑到的缘故；方法二则是解析法计算，为将问题简化，我们将F1、F2限定在了x轴上，设F1(x1,0)、F2(x2,0)、P(x,0)，由可得从而，这样便可确定点P，同理可得到点Q。两种构造方法本质上是一致的，都用到了定比分点公式，相比较而言方法一略显繁琐。二、自定义工具的创设及应用1．自定义工具的创设以方法1为例，先后选中参数值t、点F1、点F2和圆C，点击工具栏中的自定义工具选项，弹出窗口中选择创建新工具（如图3所示）

6、；在弹出“新建工具”窗口的〖工具名称〗中输入“阿波罗尼圆”点击确实即可。如果在“新建工具”窗口中勾选显示脚本视图（如图4所示），我们会发现“阿波罗尼圆”工具的先决条件为度量结果t、点F1、F2，只要给定这三个先决条件便可得到相应的阿波罗尼圆C，简而言之相当于由条件“度量结果t、点F1、F2”便可得到结论“圆C”。需要强调的是：一方面创设工具时要关注F1、F2的选中的先后顺序，如果顺序错了得到的结果就“南辕北辙”了；另一方面如果在创建工具过程中同时选中“点C、线段MF1、线段MF2”的话，图4

7、图5我们会发现结论中也多了相应的结果，读者不妨一试；同时，对于方法二的构造而言，因为构造过程中依赖于坐标系，所以在创新工具时选择对象应包括坐标轴，这样需要选中轴x、轴y、参数值t、点F1、点F2和圆C，但在“脚本视图”中出现的先决条件只有“轴y、轴x、度量结果t”（如图5所示），究其原因在于在工具的操作步骤中画板将点F1、F2设置为自由点了。2．自定义工具的应用举例案例（2009年江苏高考第18题的推广）：圆C1和圆C2的半径分别为r1、r2，则平面上存在两个点P满足：过点P有无穷多对夹角为的直

8、线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长比值为。步骤1、构造线段r1、r2，点C1、点C2；以C1为圆心r1为半径构造圆C1，同理得到圆C2，度量r1与r2的线段长的比值并将标签修改为t；图6图7步骤2、点击工具栏中的自定义工具选项，选中自定义工具“阿波罗尼圆”，先后选中比值t及点C1、点C2，得到相应的阿波罗尼圆M；步骤3、以C1C2为直径构造圆N，构造圆M与圆N的交点P1、P2（这便是我们要找寻的定点，如