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《D97方向导数与梯度(VII)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章第七节二、方向导数三、梯度方向导数与梯度一、问题的提出四、物理意义实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一团火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行．一、问题的提出的参数方程可为则射线问当P沿着趋于P0时，二、方向导数是否存在？问当P沿着趋于P0时，即若存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P
2、0沿方向的方向导数，记作即同理可得：当f(x,y)在点P0的偏导数存在时，f(x,y)在点P0沿着y轴正向，y轴负向的方向导数分别为思考题思考题解答证明由于函数可微，则全增量可表示为证毕.偏导数存在沿任意方向的方向导数存在可微沿任意方向的方向导数存在偏导数存在沿x，y正负半轴方向的方向导数存在且互为相反数解其方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为推广可得三元函数方向导数(其中例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为
3、而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数或.三、梯度则说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:(为方向l上的单位向量)结论即实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一团火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？答：这只蚂蚁首先应沿板上的温度函数在(3,2)处的负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点.称为函数f的等值线或等高线.则L*上点P处的
4、法向量为举例2.梯度的几何意义等高线在P处的切线斜率即梯度为等高线上的法向量,指向函数增大的方向.结论即结论等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数例4.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快
5、方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考:f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多3.梯度的基本运算公式例5.证:试证处矢径r的模,四、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.例6.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例5的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.内容小结1.方向导
6、数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.方向:f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值•梯度的特点思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.2.P131题16机动目录上页下页返回结束曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导
7、数M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束2.P131题16备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(1992考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:其单位向量为(1996考研)
