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1、作业讲评机动目录上页下页返回结束8(2)求dz.解:12机动目录上页下页返回结束精确值是V,近似值是
2、dV
3、.用某种材料做一个开口长方体容器,其外形长5m,宽4m,高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值与精确值.解:设体积为V(m3),长宽高各为x,y,z(m),注意:正确使用各种记号.机动目录上页下页返回结束取值,1.求给定点和自变量增量的全微分时,先声明这些否则应用记号2.表示z对的导数.就可以用dz等表示全微分.第八章第五节复合函数和隐函数微分法机动目录上页下页返回结束一.复合函数微分法二.隐函数微分法本节的教学要求熟练掌握多元
4、复合函数微分法了解全微分形式不变性掌握多元隐函数微分法重点机动目录上页下页返回结束难点(一)复合函数的微分法设是x,y的复合函数.则这是函数和中间变量均是二元函数的一般情况,它的结构图或变量关系图是:可看成是由机动目录上页下页返回结束如函数复合而成.和注意:画出函数结构图对于多元复合函数求导很有帮助.因变量——自变量机动目录上页下页返回结束如果函数且在对应于(x,y)的则复合函数在点(x,y)对x及y的偏导数存在,函数定理8.3的偏导数都存在,点(u,v)处,可微,且多元复合函数求导法则也称为链式法则.特别地,如果这时,z对x的导数称为
5、全导数,即如果的全导数为则z就是x的一元函数机动目录上页下页返回结束则函数例1求机动目录上页下页返回结束解:而例2设的偏导数。机动目录上页下页返回结束解:求则可得例3求机动目录上页下页返回结束解:而课堂练习机动目录上页下页返回结束1.解:求2.机动目录上页下页返回结束求解:例4机动目录上页下页返回结束设其中具有二阶连续偏导数，求解:注意:认为抽象函数的偏导数的结构同原函数的结构.例5求机动目录上页下页返回结束解:而其中都具有连续的偏导数,这里,表示复合后对x的偏导数;表示复合前(v为“常数”)对x的偏导数.机动目录上页下页返回结束注意：
6、各阶偏导数时,在求多元函数的偏导数，特别是抽象函数的经常利用下面简便的记法：复合函数求导的链式法则“分段相乘,分叉相加,单路全导,叉路偏导”“理清结构,找齐链路”例6设机动目录上页下页返回结束为可微的函数,证:因所以求证：设例7机动目录上页下页返回结束其中f具有二阶连续偏解:注意到仍是u,x,y的函数，所以设导数,求且例8求机动目录上页下页返回结束解:设其中f具有二阶连续偏导数,令机动目录上页下页返回结束.练习其中f具有二阶连续偏导数,解:机动目录上页下页返回结束作业P36413(3)(4);14(2);15(2)求作业讲评机动目录上
7、页下页返回结束5(3)求解:（二）全微分形式的不变性当u,v是x,y的可微函数机动目录上页下页返回结束的全微分为当u,v为自变量时,其全微分复合函数由全微分定义和复合函数微分法可求得,所以设可微,时,而这表明,对于函数机动目录上页下页返回结束还是自变量,致性,称为全微分形式不变性.无论u,v是中间变量这一形式上的一其全微分形式一样.利用全微分形式不变性可以通过求微分过程的细化先求出函数的全微分,后求出函数的偏导数.例9设利用全微分形式不变性,解:机动目录上页下页返回结束由此可得求例10设解:机动目录上页下页返回结束求（三）隐函数的微分法
8、1)在什么条件下才能确定隐函数y=f(x).2)在能确定隐函数时,函数y=f(x)的连续性、可微性及求导方法如何.机动目录上页下页返回结束用多元复合函数微分法研究方程例如,方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数存在定理1则方程单值连续函数y=f(x),并有连(隐函数求导公式)(证明略)①具有连续的偏导数;在点x0的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内②③满足条件机动目录上页下页返回结束续导数满足两边对x求导数在的某邻域内则机动目录上页下页返回结束求导公式推导如下：例10求方程确定
9、的函数解:则机动目录上页下页返回结束的导数.利用隐函数求导公式也可利用隐函数求导法——直接用复合函数求导法方程两边对x求导得设两种方法不同,前者F对x求偏导数时y是“常数”,后者对x求导时y是x的复合函数.注意:隐函数存在定理2若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),(证明略)满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束两边对x求偏导数同样可得则机动目录上页下页返回结束求导公式推导如下:在的某邻域内设是方程所确定的隐函数,例11求方程解:机动目录上页下页返回结束的偏导
10、数.所确定的函数设则由可得注意:虽然此例中方程确定两个不同的函数但在其可导区域内,导数相同.利用隐函数求导公式例12设解法1利用隐函数求导法——直接用复合函数求导法机动目录上页下页返回结束再对x求导解法2利
