C语言程序设计循环结构之科学计算

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1、第八讲循环结构的经典算法之二程序设计举例(本节示例需重点掌握)教学重点：1.用普通迭代法求一元非线性方程的近似实根r2.用二分法求一元非线性方程在某区间上的近似实根r3.用牛顿切线法（又叫Newton迭代法）求一元非线性方程在某区间上的近似实根r4.用矩形法求一元函数在某区间上的积分近似值S5.用梯形法求一元函数在某区间上的积分近似值S6.加密、解密算法所谓非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。5.9循环应用举例1.用普通迭代法求方程的近似实根r5.9循环应用举例1.用普通迭

2、代法求方程的近似实根r普通迭代法的基本思想：求一元非线性方程f(x)=0的实根。(1)、将方程f(x)=0化为它的等价方程：x=g(x),g(x)称为迭代函数。(2)、设定一个x的初值x0；(3)、用x=g(x)求出x的下一个值x1；(4)、再将x1代入上述公式，求出x的下一个值x2；(5)、如此继续下去，直到前后两次求出的x值满足要求；迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。5.9循环应用举例1.用普通迭代法求方程的近似实根r例1：编写程序，用普通迭代法求方程f(x)=x+sin(1.2x)-2.15=0在区间[0，5]上的近似实根r，迭代初

3、值自选，精确到0.0001。〔提示：必须把方程f(x)=0化成其等价方程x=g(x)〕#include#includemain(){doublex,x0;x0=2.5;/*迭代初值自选*/do{x=x0;x0=2.15-sin(1.2*x);/*转化后的等价方程x=g(x)*/}while(fabs(x-x0)>=1e-4);printf("%.4f",x0);}5.9循环应用举例2.用二分法求一元非线性方程在某区间上的近似实根r原理：对于方程f(x)=0，解方程即要求f(x)的所有零点，(1)先输入a、b的值，求f(a)

4、和f(b)；(2)如果f(a)和f(b)同号，说明在区间[a,b]内无实根，返回步骤(1),重新输入a和b的值；如果f(a)和f(b)异号，说明在区间[a,b]内一定有一个零点，即实根。(3)求f[(a+b)/2]，现在假设f(a)<0,f(b)>0,（a0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，令b=(a+b)/2，从(3)开始继续使用中

5、点函数值判断。这样就可以不断接近零点,通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。例2：编写程序，用二分法求一元非线性方程f(x)=2x+sinx-2.15=0在区间(0，5)上的近似实根r，精确到0.0001。#include#includemain(){floata,b,x0,fa,fb,f0;do{scanf("%f,%f",&a,&b);fa=2*a+sin(a)-2.15;fb=2*b+sin(b)-2.15;}while(fa*fb>

6、0);do{x0=(a+b)/2;f0=2*x0+sin(x0)-2.15;if(fa*f0<0){b=x0;fb=f0;}else{a=x0;fa=f0;}}while(fabs(f0)>=1e-4);printf("%.4f",x0);}5.9循环应用举例3.用牛顿切线法求方程在某区间的近似实根rNewton切线法又叫Newton迭代法。此方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。5.9循环应用举例3.用牛顿切线法求方程在某区间的近似实根r先任意设定一个与真实的根r接近的值x0，作为第一次近似根，由x0求出f(x0)，过点（x

7、0,f(x0)）做f(x)的切线，切线交x轴于x1；把x1作为第二次近似根，再由x1求出f(x1)，过点（x1,f(x1)）做f(x)的切线，切线交x轴于x2；把x2作为第三次近似根，再由x2求出f(x2)，再做切线。……如此继续下去，直到满足要求，得真实的根r的近似值。从图中可以看出：切线的斜率f'(x(n))=f(x(n))/(x(n)-x(n+1))因此得：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为牛顿迭代公式。例3：编写程序，用Newton迭代法求方程f(x)=2x+cosx-2.6=0在区间[0，4]上的近似实根r，迭代初值自选，

8、精确到0.0001。提示:牛顿切线法的