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1、平面钢板切割问题【摘要】对于一块钢板，如何切割最经济，需要有最佳切割的方式。为了找到最优切割方式，首先通过分析及Mathematic软件得到可能的17种下料方法；接着模拟切割操作，得到其中9种可行方法；最后在Lindo中编程，编写目标函数，寻找最优解。最终得出在总用量最少目标函数下，即钢板总用量最小为12块，最优解为x1=0,x2=1,x3=0,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0,x9=6,x10=5，其中多余62块1*3的钢板；在总废料的面积最少目标函数下，即钢板总用量最小为13块，最优解为x1=0,x2=1,x3=12,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0,x9=
2、0,x10=0，其中多余91块1*3的钢板和1块5*7的钢板。【关键词】最佳切割Mathematic软件Lindo软件最优解【正文】一、问题重述钢厂有10m×10m的钢板，需要满足下列订货的切割要求：（1）60张1m×3m的小钢板；（2）49张2m×4m的小钢板；（3）12张5m×7m的小钢板；问题：应该如何切割钢板最经济？二、问题分析（1）算出一块10m×10m的钢板可以有1m×3m、2m×4m、5m×7m这样的三种小钢板的多少种组合形式（2）根据各种不同的组合，画出下料图（3）根据下料图，利用lindo软件，找出符合要求又废料很少的方式三、建立模型第一步：寻找可能的下料方法钢板总面积100
3、m2，1*3的小钢板面积3m2,2*4的8m2，5*7的35m2，分别最多切割maxa、maxb、maxc块.则maxa<=33,maxb<=12,maxc<=2,又因为下料边长都是整数，于是底料边长不会超过3m，即底料的面积最多是2*2=4m。设一次切割1*3a块，2*4b块，5*7c块，则剩余废料满足0<=100-(3a+8b+35c)<=4.依据这种理由，底料的面积可能是0，1，2，3，4，我们寻找可能下料的方法，在mathematic中编程如下：DO[DO[DO[DO[if[3a+8b+35c==100-k,Print[“(“,a,”,”,b,”,”,c,”)”]],{a,0,20}]
4、,{b,0,7}],{c,0,1}],{k,0，4}],其中变量k的取值代表废料面积。执行后得到：(20,5,0)(19,1,1)(11,4,1)(3,7,1)(17,6,0)(16,2,1)(8,5,1)(14,7,0)(13,3,1)(5,6,1)(19,5,0)(18,1,1)(10,4,1)(2,7,1)(16,6,0)(15,2,1)(7,5,1)第二步：建立假设假设①由于施工条件有限，切割只能走直线，并只能一刀切到底；②切割不计损耗第三步：讨论切割方法的可能性（约定切割余料统称为废料）方法一：对应于（20，5，0）20块1*3+5块2*4+废料0*0方法二：对应于（19，1，1）1
5、9块1*3+1块2*4+1块5*7+废料0方法三：对应于（11，4，1）11块1*3+4块2*4+1块5*7+废料0方法四：对应于（3，7，1）3块1*3+7块2*4+1块5*7+废料0方法五：对应于（17，6，0）17块1*3+6块2*4+废料1*1方法六：对应于（16，2，1）16块1*3+2块2*4+1块5*7+废料1*1方法七：对应于（8，5，1）8块1*3+5块2*4+1块5*7+废料1*1方法八：对应于（14，7，0）14块1*3+7块2*4+废料1*2方法九：（13，3，1）13块1*3+3块2*4+1块5*7+废料1*2方法十：（5，6，1）5块1*3+6块2*4+1块5*7+
6、废料1*2方法十一：（19,5,0）因为存在（20，5，0）所以这种方法可省略方法十二：（18，1，1）因为存在（19，1，1）所以这种方法可省略方法十三：（10，4,1）因为存在（11，4，1）所以这种方法可省略方法十四：（2,7,1）方法十五：（16,6,0）因为存在（17，6，0）所以这种方法可省略方法十六：（15，2，1）因为存在（16，2，1）所以这种方法可省略方法十七：（7，5，1）因为存在（8，5，1）所以这种方法可省略也就是说：有9种可行方法第四步：在lindo中编程，找最优解由于60*3+8*49+12*35/100=9.92，可知最少需要10块这种钢板下料、设用切割方法i需
7、要切割xi块钢板，目标函数一：总用量最少Minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10目标函数二：总废料的面积最少Minf=0x1+0x2+0x3+0x4+x5+x6+x7+2x8+2x9+2x10约束条件：20x1+19x2+11x3+3x4+17x5+16x6+8x7+14x8+13x9+5x10>605x1+1x2+4x3+7x4+6x5+2x6+5x7+7x8+3x
