量子力学中常用算符对易关系及其证明

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1、第136卷第期遵义师范学院学报Vol.13,No.62011年月12JournalofZunyiNormalCollegeDec.2011量子力学中常用算符对易关系及其证明杨秀德,杨友昌,吴波,万猛（遵义师范学院物理与机电工程系,贵州遵义563002)摘要：文章对量子力学中常用的算符对易关系作了分析、归纳和总结,并进行了详细的证明,以加深学生对算符及其对易关系的理解和掌握,为量子力学课程的教学提供参考。关键词：量子力学；算符；对易关系；归纳；证明中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1009-3583(2011)-06-0103-04ConcludingandProvin

2、gtheCommutationRelationofOperatorsoftenUsedinQuantumMechanicsYANGXiu-de,YANGYou-chang,WUBo,WANMeng(DepartmentofPhysicsandMechanical&ElectricalEngineering,ZunyiNormalCollege,Zunyi563002,China)Abstract:Inordertohelpphysicalstudentsreallyunderstandingthecommutationrelationofoperators,weanalyze,co

3、ncludeandsummarizethecommutationrelationsofoperatorsoftenusedinquantummechanics,whichprovidesomereferencesforteachingofquantummechanicscourseaswell.Keywords:quantummechanics；operator；commutationrelation；concluding;proving和经典粒子的力学量不同,量子力学中的微观算符是代表进行某种运算规则的符号。如数学力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)要用希尔算符、等。量子力学中

4、的算符代表对波函数伯特空间的线性厄米算符来表示,这是量子力学的基本假设之一。对易关系是力学量算符的本质,我[1]的一种运算,即规定一种对应关系：假设某种运算们对一切算符的相关计算都是以对易关系为出发把函数变为,则用符号表示为,满足这种点。为此,算符对易关系是研究和分析微观物理的[2]对应关系的就称为算符。在量子力学中,系统的基石,是量子力学课程的重要组成部分。在教学过每一个力学量都有一个相应的算符。如坐标的算程中如何证明和理解这些对易关系显得尤为重符,动量p的算符,其它力学量算符都要,也是学生学好量子力学课程的关键。可由坐标和动量这两个基本算符导出。不同的力学量子力学是本科教学中比

5、较困难的课程之一。量算符对波函数的作用方式和结果也不同,如：另外,大多数教材并没有给出算符对易关系的详细证明,更是让学生摸不着头脑。本文旨在归纳、总,。结量子力学中的一些基本力学量(坐标算符、动量算符的对易关系是指：设有描述体系力学量的算符、轨道角动量算符、自旋角动量算符)间的对两个算符与,若,称算符易关系,并给出详细的推导过程,便于教师的课堂教与不对易(不能交换位置),即；若学和学生学习,加深学生对量子力学算符及其对易,称算符与对易,即关系的理解和掌握。[2]。在量子力学中,要完全确定体系所处的1算符及其算符对易关系的概念收稿日期：2011-09-18基金项目：贵州省教育厅自然科

6、学类科研资助项目(黔教科20100084)；贵州省科学技术基金项目(黔科合J字[2011]2364号)。作者简介：杨秀德,男,贵州遵义人,遵义师范学院物理与机电工程系讲师,硕士,主要从事理论物理教学研究。第136卷第期遵义师范学院学报2011年月12状态,需要一组相互对易的力学量,这一组完全确定体系状态的力学量,叫力学量的完全集。在完全集[2]中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。分析：证明该对易关系就是证明如下关系式：如,三维空间中自由粒子的自由度是3,完全确定它的状态需要三个互相对易的力学量；又其中为任意波函数,,共有9个对如,原子中电子的自由度为3,完全确定它的状态需易关

7、系式。要三个互相对易的力学量。证明：设为任意波函数,取,则有描述量子力学的状态用波函数来表示,波函数具有统计解释意义,算符是对波函数的一种操作,要完全确定一个量子力学状态需要一组相互对易的力学量。为此,算符及其对易关系是量子力学理论建立的基本前提,在量子力学描述中占据着十分重要比较后可得,,由于为任的地位和作用。对算符及其对易关系的理解和掌握意函数,所以是学生学习量子力学的关键。相同方法可证得如下关系：2常用的算符对易关系及其证明量子力学中常用的算符对易关系主要是指坐