CH10-3一阶微分方程在经济中的应用

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1、第十章微分方程与差分方程10.1微分方程的基本概念10.2一阶微分方程10.3一阶微分方程在经济学中的综合应用10.4可降阶的二阶微分方程10.5二阶常系数线性微分方程10.6差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构10.7一阶常系数线性差分方程10.8二阶常系数线性差分方程10.9差分方程的简单经济应用1第二节一阶微分方程1、可分离变量的微分方程2、齐次方程3、一阶线性微分方程2可分离变量的微分方程的解法分离变量两边积分，得则如果注：方程的通解,必须予以补上。在分离变量时，解可能它不包含在3解:当y≠0时分离变量得另外y=0也是原微分

2、方程的解，因此通解为(B为任意常数).4例求方程的特解.满足初始条件解分离变量,得两边积分，得于是原方程的通解为又将初始条件故满足初始条件的特解为代入通解中,得第二节一阶微分方程1、可分离变量的微分方程2、齐次方程3、一阶线性微分方程6二、齐次微分方程形如的方程叫做齐次微分方程.例如，都是齐次微分方程.7令解法:代入原方程得可分离变量的方程两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.分离变量:8如果有实根那末（i=1，2，…，k）也为方程的解。9例求解方程解将方程改写为令得（1）若分离变量，得积分得（1）的通解即(c是任意常数)(2)此外，

3、方程(1)还有解10代回原来的变量，得原方程的通解为及解。11第二节一阶微分方程1、可分离变量的微分方程2、齐次方程3、一阶线性微分方程12如果方程及的一次有理整式，则称其为n阶线性微分方程.的左端为13一阶线性微分方程标准形式:若若称为非齐次线性微分方程.称为齐次线性微分方程;考察下列方程是否线性方程？线性的;非线性的.14齐次方程的通解为分离变量积分猜想：非齐次微分方程的解应该具有形式15通解代入原式解出常数变易法16例5解方程解1:先解即积分得即用常数变易法把C换成u(x)，即令则代入非齐次方程得u′=(x+1)1/2解得故原方程通解为1

4、7例5解方程解2:公式法由通解公式得18解：例19第二节一阶微分方程1、可分离变量的微分方程2、齐次方程3、一阶线性微分方程4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性20《自然哲学的数学原理》———牛顿（1687）在本书中，牛顿提出万有引力定律，然后用数学的形式——常微分方程——推出了开普勒定律，完成了日心地动说的力学解释，也同时开始了以常微分方程为对象的动力系统的研究.21分析：令f(x)=0，解得x=x0是该微分方程的解.定义：若f(x0)=0，则x=x0是其平衡解.其图象为一条水平直线.例7：例8：它们的平衡解分别是22例7：（1）它的平衡解是L

5、=A.（2）此初值问题的特解是？解：由分离变量法得方程的通解为特解为稳定的平衡解定义P38323例8：它的平衡解是B=10.不稳定的平衡解定义P383初始值的极微小的扰动而会造成系统巨大变化.蝴蝶效应TheButterflyEffect24例Lorenz方程（1963）蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。气象学家洛伦兹（Lorenz）在美国天气预报中心工作，进行数值天气预报。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的方程组，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，他把一个中间解

6、0.506取出，提高精度到0.506127再送回。因为当时的计算机运行速度比较慢，所以他在计算的时候离开了一会。而当他穿过大厅，到咖啡馆喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，计算结果却偏离了十万八千里！后来洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学

7、魅力。25一只蝴蝶在纽约中央公园的小黄花上扇动了一下翅膀，于是东京掀起风暴电闪雷鸣……也许人的一生就会被当年一点点不经意间细枝末节改变，从此走上不同岔口不能回头……微分方程中说这叫蝴蝶效应，你相信吗？26作业P3841，2（偶数），3（奇数），4（偶数），6，727第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用一、需求量（供给量）与价格的关系二、预测可再生资源的产量三、成本分析四、公司的净资产分析28例1解（1）由需求的价格弹性公式得分离变量解微分方程得29解（1）由需求的价格弹性公式得分离变量解微分方程得例1（2）（3）30例已知需求价格弹性为-1/

8、Q2,且当Q=0时,p=100.试求价格p与需求Q的函数关系p=f(Q).解由需求价格弹性的定义,有这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得即又