ACM课件(lecture08)母函数

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1、ACM程序设计杭州电子科技大学刘春英acm@hdu.edu.cn10/16/20211上一周，你了吗？练习10/16/20212每周一星（7）：0705420210/16/20213第八讲母函数及其应用（Generationfunction）10/16/20214从递推关系说起10/16/20215研究以下多项式乘法：可以看出：x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，…an中取两个组合的全体；同理：x3项系数包含了从n个元素a1，a2，…an中取3个元素组合的全

2、体；以此类推。(8－1)10/16/20216若令a1=a2=…=an=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：（8－2）特例：10/16/20217母函数定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数10/16/20218Forexample:(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。     如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便

3、可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。     序列a0，a1，a2，…可记为{an}。10/16/20219实例分析10/16/202110例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，10/16/202111几种

4、砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有110/16/202112例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数

5、——因邮票允许重复，故母函数为：以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+210/16/202113概念：整数拆分所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。10/16/202114练习（写出以下问题的母函数）：例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚，问能称出哪几种重量？各有几种方案？

6、例4:整数n拆分成1，2，3，…，m的和，求其母函数。例5：如若上例中m至少出现一次，其母函数又如何？10/16/202115如何编写程序实现母函数的应用呢？核心问题——关键：对多项式展开10/16/202116以整数拆分为例：观察以下的母函数：…首先思考：如果让你手工计算，你是怎样处理的？实际编程：让计算机按照自己的思路计算即可～10/16/202117//Authorbylwg#includeusingnamespacestd;constintlmax=10000;intc1

7、[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){intn,i,j,k;while(cin>>n){for(i=0;i<=n;i++){c1[i]=0;c2[i]=0;}for(i=0;i<=n;i++)c1[i]=1;for(i=2;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++)for(k=0;k+j<=n;k+=i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j<=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}cout<

8、}return0;}10/16/202118主打例题：HDOJ_1398SquareCoinsSampleInput210300SampleOutput142710/16/202119算法分析：典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…10/16/202120//HDOJ_1398SquareCoins#in