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时间:2019-06-30
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1、ACM程序设计杭州电子科技大学刘春英acm@hdu.edu.cn10/16/20211上一周,你了吗?练习10/16/20212每周一星(7):0705420210/16/20213第八讲母函数及其应用(Generationfunction)10/16/20214从递推关系说起10/16/20215研究以下多项式乘法:可以看出:x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1,a2,…an中取两个组合的全体;同理:x3项系数包含了从n个元素a1,a2,…an中取3个元素组合的全
2、体;以此类推。(8-1)10/16/20216若令a1=a2=…=an=1,在(8-1)式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推。故有:(8-2)特例:10/16/20217母函数定义:对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数10/16/20218Forexample:(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。 如若已知序列a0,a1,a2,…则对应的母函数G(x)便
3、可根据定义给出。反之,如若已经求得序列的母函数G(x),则该序列也随之确定。 序列a0,a1,a2,…可记为{an}。10/16/20219实例分析10/16/202110例1:若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?各有几种可能方案?如何解决这个问题呢?考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量,则:1个1克的砝码可以用函数1+x表示,1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,10/16/202111几种
4、砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。例如右端有2x5项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2,称出10克的方案有110/16/202112例2:求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数
5、——因邮票允许重复,故母函数为:以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+210/16/202113概念:整数拆分所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。10/16/202114练习(写出以下问题的母函数):例3:若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚,问能称出哪几种重量?各有几种方案?
6、例4:整数n拆分成1,2,3,…,m的和,求其母函数。例5:如若上例中m至少出现一次,其母函数又如何?10/16/202115如何编写程序实现母函数的应用呢?核心问题——关键:对多项式展开10/16/202116以整数拆分为例:观察以下的母函数:…首先思考:如果让你手工计算,你是怎样处理的?实际编程:让计算机按照自己的思路计算即可~10/16/202117//Authorbylwg#includeusingnamespacestd;constintlmax=10000;intc1
7、[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){intn,i,j,k;while(cin>>n){for(i=0;i<=n;i++){c1[i]=0;c2[i]=0;}for(i=0;i<=n;i++)c1[i]=1;for(i=2;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++)for(k=0;k+j<=n;k+=i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j<=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}cout<8、}return0;}10/16/202118主打例题:HDOJ_1398SquareCoinsSampleInput210300SampleOutput142710/16/202119算法分析:典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…10/16/202120//HDOJ_1398SquareCoins#in
8、}return0;}10/16/202118主打例题:HDOJ_1398SquareCoinsSampleInput210300SampleOutput142710/16/202119算法分析:典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…10/16/202120//HDOJ_1398SquareCoins#in
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