高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案含解析

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1、1．1.1　命　题[提出问题]观察下列语句：(1)三角形的三个内角的和等于360°.(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？(3)这是一棵大树呀！(4)实数的平方是正数．(5)能被4整除的数一定能被2整除．问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？提示：(1)(4)(5)．问题2：你能判断它们的真假吗？提示：能，(5)真，(1)(4)为假．[导入新知]命题[化解疑难]1．判断一个语句是命题的两个要素：(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；(2)可以判断真假．2．命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例

2、即可．命题的判断[例1]　判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2－x＋7＞0.[解]　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．8(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)因为x2－x＋7＝2＋＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题．[类题通法]判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足

3、这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．[活学活用]判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x＞3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．(2)是陈述句，能判断真假，是命题．(3)不是陈述句，不是命题．(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假[例2]　判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1＜0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一

4、定为递增数列．[解]　　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．[类题通法]命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：8通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题

5、的常用方法．[活学活用]下列命题中真命题有(　　)①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：选A　①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．命题的结构形式[例3]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对

6、角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解]　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．[类题通法](1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还

7、要注意有的命题改写形式不唯一．[活学活用]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．8　　　　[典例]　将命题“已知a，

8、b为正数，当a＞b时，有＞”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．[解]　　根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a