线段最值问题总结

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1、数学历史名题与中考数学命题（一）——线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手

2、出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。在此特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。数学文化现在越来越受到大家的重视，2017年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改

3、编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，

4、归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短

5、的路径进行。你说大自然多么奇妙，这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的，让人惊叹！从此“将军饮马”问题广为流传，在我国唐代诗人李欣写有《古从军行》一诗，古从军行白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外，空见蒲萄入汉家。前两句诗句就记录了“将军饮马”的情景。也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。【熟悉十二个基本问题】【问题1】作法图形原理两点之间线段最短．连AB，与l交点即为P．PA+PB最小值为AB．

6、在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题2】“将军饮马”作法图形原理作B关于l的对称点B＇连两点之间线段最短．AB＇，与l交点即为P．PA+PB最小值为AB＇．在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题3】作法图形原理分别作点P关于两直线的两点之间线段最短．对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，PM+MN+PN的最小值为与两直线交点即为M，N．线段P＇P＇＇的长．在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．【问题4】作法图形原理分别作点Q、P关于直线两点之间线段最短．l1、l2的对称点Q＇和P＇四边形PQMN周长的最小连Q＇

7、P＇，与两直线交点即值为线段P＇P＇＇的长．在直线l1、l2上分别求点为M，N．M、N，使四边形PQMN的周长最小．【问题5】“造桥选址”作法图形原理将点A向下平移MN的长两点之间线段最短．度单位得A＇，连A＇B，交nAM+MN+BN的最小值为于点N，过N作NM⊥m于A＇B+MN．M．直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．【问题6】作法图形原理将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l两点之间线段最短．的对称点A＇＇，连A＇＇B，交AM+MN+BN的最小值为在直线l上求两点M、N（M直线l于点N，

8、将N点向左A＇＇B+MN．在左），使MNa，并使平移a个单位得M．AM+MN+NB的值最小．【问题7】作法图形原理作点P关于l1的对称点点到直线，垂线段最短．P＇