等时圆模型(最新最全)

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1、“等时圆”模型的规律及应用一、等时圆模型（如图所示）图a图b二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间，即（式中R为圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动

2、时间与弦的倾角、长短无关。8四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。OABLLD图2例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以O为圆心，以

3、L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。图6ABPHhOO1ABPHhO图5解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为：所以PAθB图8CO例4

4、：如图7，8AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？AθB图7P解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ

5、/2。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ，tbd==2。可见t与θ有关。2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）θaObc

6、A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则=gsinθt2，t2=，当θ=450时，t最小，当θ=3008和600时，sin2θ的值相等。图3例3：如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多

7、少？【解析】：=gsinθt2，t2=，当θ=450时，t最小训练1、如图所示,oa、ob、oc是竖直面内三根固定的光滑细杆,O、a、b、c、d位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环都从o点无初速释放,用、、依次表示滑环到达a、b、c所用的时间,则(  )A. B.  C. D.答案详解D解:以O点为最高点,取合适的竖直直径oe作等时圆,交ob于b,如图所示,显然o到f、b、g、e才是等时的,比较图示位移,,故推得,选项ABC错误,D正确.82、身

8、体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD与板的夹角分别为70°、90°和105°，则 （　　）A.t1>t2>t3B.t1