用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

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1、用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第②步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果一．洛必达法则若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)与可导且；　　(3)，那么=利用洛必达法则求极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则,若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止二．高考题处理1.(2010年全国新课标卷理第21题)设函数（1）若，求的单调区间；（2）若当时，

2、求的取值范围原解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为2．（2011年全国新课标理第21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如

3、果当，且时，，求的取值范围原解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以考虑函数，则（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设00,故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，

4、h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾综合得，k的取值范围为（-，0]原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k的取值范围为（-，0]规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦

5、，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法3．（2010年全国卷2数学理第22题）设函数（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．原解：（I）当时，当且仅当令当，是增函数；当是减函数。于是在x=0处达到最小值，因而当时，所以当（II）由题设当不成立；当则当且令当（i）当时，由（I）知是减函数，（ii）当时，由（I）知当时，综上，a的取值范围是原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）证明：当时，令，则，从而；另一方面当时，这与已知当时当时，矛盾则则，当时，此式成立；当时令则令则令则从

6、而在上单调递增且那么可以得到在上单调递增且从而在上所以在上单调递增且从而在上单调递增的取值范围是4．已知函数（1）若，求函数的最小值（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围5．（2012年郑州市一测21题）设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数对任意都有成立，求的取值范围