10.数学分析三大基本思想之变换

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1、本文由SCIbird排版整理数学分析三大基本思想之变换SCIbird说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。广义的变换应该作为一种思想来理解，即对某个数学对象进行操作，转化为另一个对象，要求后者相对容易处理。我们在中学已经接触到一些简单的变换，如三角变换和万能公式。进入大学学习数学分析或微积分，接触到求极限方法的等价无穷小代换也是变换的一种。像微分理论中的罗比达法则，积分理论中的第一、

2、二类换元法，级数理论中的算术平均求和法（即C−1求和法，例如Fourier理论中的费耶和），常微分方程中的分离变量法、常数变易法和积分因子法等等，都是变换思想的具体表现。从实用角度看，最常见的线性变换，这方面内容在线性代数课程中有详细论述。后来人们进一步抽象出线性算子，并把它推广到无穷维线性空间，这些内容可以在泛函分析课程中学到。需要指出，非线性变换也是存在的，而且更普遍，处理起来也更困难。数学分析作为基础课程，主要以处理线性变换为主（包括逆变换），微分学的精髓就是函数增量的线性主部，站在算子角度，微分是线性变

3、换的一种。另外，不少非线性变换的处理方法是从线性变换中衍生出来的，这就更体现出线性变换的重要性。还是用几个具体的“变换例子”来说明吧。首先说说不定积分，这方面技巧非常多，很多教材都单独列出一节讲一些经典的不定积分技巧，比如有理函数如何积分，某些根式如何积分等等。其中使用得最多的是第一类换元积分法和第二类换元积分法。前者，主要是微分公式duv()=+vduudv经过移项变换，得到udv=−duv()vdu再求逆变换（积分）的结果∫∫udv=−uvvdu变换的指导精神是不定积分∫vdu比较容易求出。本文由SCIbi

4、rd排版整理关于第二类不定积分换元法，通常涉及反函数，很多书中给的条件并不一致。《数学分析习题课讲义》中收录了下面的定理：设f()x有原函数，函数xxt=()可微且有函数ttx=()满足xtx(())≡x,若∫f(())()xtxtdtFtC′=+()则有∫f()xdxFtx=+(())C证明：已知f()x有原函数，记为Ux()，则有Uxfx′()=().又已知Ftfxtxt′′()=(())()由复合函数求导法则得到dUxt(())===UxtxtfxtxtFt′′(())()(())()′′()dt因此Ux

5、t(())与Ft()只相差一个常值函数Uxt(())=+FtC()将ttx=()代入，且利用恒等式xtx(())≡x，于是就有Uxtx((()))==Ux()Ftx(())+C对上面两边求导可知dFtx(())==Uxfx′()()dx于是我们证明了∫f()xdxFtx=+(())C一般教材上使用第二换元积分法时要求：可微函数xxt=()存在“反函数ttx=()”关系。显然，若反函数存在，则自然满足恒等式xtx(())≡x.但反过来满足恒等式xtx(())≡x并不意味着反函数存在。上面的定理实际上说明：只需要函

6、数xxt=()可微且有函数ttx=()满足恒等式xtx(())≡x,即可使用第二换元积分法。无须反函数存在或单调性假设。第二换元积分法主要是“一阶微分形式不变性”的体现，目的是简化被积函数的结构，使得容易求解。这两类换元积分法可以推广到一元定积分理论中，这里不细说了，详细内容请参考《数学分析新讲》。重积分中也有换元积分公式，但根据经验，高维积分换元主要是为了将积分域变得简单，一维积分换元主要是为了将被积函数变得简单，这一点区别要注意。本文由SCIbird排版整理尽管不定积分的技巧非常多，但必须指出，大部分初等函

7、数是积不出来的，即原函数是非初等函数。比如下列积分sinx−x2122∫∫∫∫∫dx,,,edxdxsinxdx,cosxdxxxln即便是不涉及超越函数的第一类椭圆积分dx∫222(1−−xk)(1x)其原函数也是非初等的。原函数是非初等积分也称不可积。据笔者查阅到的文献，目前还没有判定一个连续函数的不定积分是否为非初等积分的“万能准则”（充要条件），大部分判定定理只能针对某一类函数成立。比如下面的定理gx()（定理）设f,g为有理函数，g不是常值函数，如果∫f()xedx是初等函数，则存在有理函数h,使得g

8、x()gx()∫f()xedxhxe=+()C.这个定理的证明涉及微分代数，有兴趣的读者可自行查阅相关文献。在积分理论中，有一类非常重要的变换，即含参数变换。ϕ()tf=∫R()(,)xKxtdx这里t是参变量，Kxt(,)称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的一种常见方法，比如数学分析里非常重要的Γ函数和B函数。参变量核函数方法的典型例子有两个，一个是多项式逼近连续函数定理中的La