线性代数公式手册簿

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1、实用文档目录线性代数1(一)行列式1(二)矩阵2(三)向量5(四)线性方程组8(五)矩阵的特征值和特征向量10(六)二次型11标准文案实用文档线性代数(一)行列式考试内容对应公式、定理、概念行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理(1)或即其中(2)设为阶方阵，则但不一定成立(4)标准文案实用文档但(6)范德蒙行列式设A是n阶方阵，是A的n个特征值，则(二)矩阵考试内容对应公式、定理、概念矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，矩阵：称为矩阵，简记为则称是阶矩阵或阶方阵.矩阵的线性运算1矩阵的加法设是两个矩阵，则矩阵称为

2、矩阵与的和，记为标准文案实用文档2矩阵的数乘设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为.3矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵，那么矩阵，其中称为的乘积，记为方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，1三者之间的关系但不一定成立，，但不一定成立2有关A*的结论3)若可逆，则标准文案实用文档4)若为阶方阵，则3有关的结论矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算1有关矩阵秩的结论1）秩r（A）=行秩=列秩；2）3）；4）5）初等变换不改变矩阵的秩6）特别若则7）若存在若存在若标准文案实用

3、文档若8）只有零解2分块求逆公式；；；这里A，B均为可逆方阵(三)向量考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关1有关向量组的线性表示(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.(2)线性无关，，线性相关可以由惟一线性表示.标准文案实用文档(3)可以由线性表示）2有关向量组的线性相关性(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.(2)①n个n维向量n个n维向量线性相关②n+1个n维向量线性相关.③若线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关向量组的极大线性无关

4、组，等价向量组，向量组的秩1有关向量组的线性表示(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.(2)线性无关，，线性相关可以由惟一线性表示.(3)可以由线性表示标准文案实用文档向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念1设，则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为：(1)若，则的行向量组线性无关.(2)若，则的行向量组线性相关.(3)若，则的列向量组线性无关.(4)若，则的列向量组线性相关n维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵1基变换公式及过渡矩阵若与是向量空间的两组基，则基变换公式为其中是可逆矩阵，称为由基到基的过渡矩阵2坐标变换公式若

5、向量在基与基的坐标分别是标准文案实用文档，即，则向量坐标变换公式为其中是从基到基的过渡矩阵向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法内积：Schmidt正交化若线性无关，则可构造使其两两正交，且仅是的线性组合，再把单位化，记，则是规范正交向量组.其中，…………………………………标准文案实用文档规范正交基，正交矩阵及其性质1正交基及规范正交基向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基(四)线性方程组考试内容对应公式、定理、概念线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件1克莱姆法则

6、线性方程组，如果系数行列式，则方程组有唯一解，其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.2n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解，一般地，只有零解.1设A为矩阵，若，则对而言必有从而有解.2设为的解，则当标准文案实用文档非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构时仍为的解；但当时，则为的解.特别为的解；为的解.3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此的全体解

7、向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.2是的基础解系，即(1)是的解；(2)线性无关；(3)的任一解都可以由线性表出.是的通解，其中是任意常数.(五)矩阵的特征值和特征向量标准文案实用文档考试内容对应公式、定理、概念矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，1设是的一个特征值，则有一个特征值分别为且对应特征向量相同（例外）.2若为的n个特征值，则从而没有特征值.3设为的s个特征值，对应特征向量为，若则相似变换、相似矩阵的概念及性质，1若，则(1)(2)(3)对成立标准文案实用文档矩阵可相似对角化的

8、充分必要条件及相似对角矩阵，1设为n阶方阵，则可对角化对每个重根特征值，有2设可对角化，则由有