指数分布参数的区间估计和假设检验

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1、嘉兴学院学报第16卷第3期2004年5月JournalofJiaxingCollegeVol.16No.32004.5指数分布参数的区间估计和假设检验
蒋福坤,刘正春(嘉兴学院信息工程学院,浙江嘉兴314001)摘要:该文给出了指数分布参数的区间估计和假设检验的两种方法,并通过数值计算进行了比较。关键词:指数分布;区间估计;假设检验。中图分类号:O212.1Abstract:Thispaperexpoundstwomethods,intervalestimationandhypotheticaltestofparametersonindexdistribution,a

2、ndmakescomparisonbymeansofnumericalcalculation.Keywords:indexdistribution;intervalestimation;hypothesistest.CLC:O212.1文献标识码:A.文章编号:1008-6781(2004)03-0012-030引言随着科学技术和生产的不断发展,数理统计的应用更加广泛。而区间估计和假设检验问题在统计推2断中占有很重要的地位。对于总体人们常常假设为正态分布,在正态总体下派生出了T分布、F分布、
分布,并且研究了期望和方差的各种区间估计和假设检验。而总体服从指数分布也是实

3、际问题中经常碰到的。在总体服从指数分布的情况下,本文利用概率论知识对区间估计和假设检验问题进行了研究,并给出指数分布参数的区间估计和假设检验的两种方法。1区间估计和假设检验的方法1.1方法一1.1.1相关结论设总体X服从参数为
(
>0)的指数分布,X1,X2,⋯,Xn是X的一个容量为n的样本,样本的均值--为X,作统计量
n=nX,由
分布的相关性质可得:-结论1统计量
n=nX服从参数为
,n的
分布,即随机变量
n分布密度函数Pn(x)为0x<0Pn(x)=1nn-1-
x
xex
0(n-1)!由结论1可得到结论2统计量
n=
n服从参数1,n的
分布,即

4、n的分布密度函数
(x)为0x<0
(x)=1n-1-xxex
0(n-1)!1.1.2参数
的1-
的置信区间-设总体X服从参数为
(
>0)的指数分布,X1,X2,⋯,Xn是X的一个样本,统计量
n=
nX服从参数为1,n的
分布,对于给定的
∈(0,1),由
n分布密度函数
(x)可以求出,使得P{

(n)<
n-X<
1-
(n)}=1-
22

(n)

1-(n)

22成立的临界值
2(n)和
1-2(n),于是得到参数
的置信度为1-
的置信区间-,-,从nXnX
收稿日期:2003-09-27.作者简介:蒋福坤(1953—),男,浙江桐乡人,嘉兴学

5、院信息工程学院。·12·蒋福坤,刘正春:指数分布参数的区间估计和假设检验--1nXnX而,总体的平均值
的置信度为1-
的置信区间为(

,
)1-(n)
(n)22

(n)

(n)2
1-2
其中:∫
(x)dx=,
(x)dx=1-02∫021.1.3参数
的假设检验设总体X服从参数为
(
>0)的指数分布,用X的一个样本X1,X2,⋯,Xn检验原假设H0:
=
0选-取统计量
n=
0nX,当原假设H0成立时,
n服从参数为1,n的
分布。给定显著性水平
,通过计算可
得:P{



(n)}=P{



1-(n)}=222成立的临界值

(n)和

6、1-(n),拒绝域是[0,
(n)]∪[
1-(n),+∞)。2222由样本值算出统计量
n的值,若
n的值落入拒绝域,则拒绝原假设H0;否则,接受H0。1.2方法二1.2.1相关结论和定理设总体服从X参数为
(
>0)的指数分布,X1,X2,⋯,Xn是X的一个容量为n的样本,记S=S+T1max{Xi},T=min{Xi},则是的一个无偏估计量。由顺序统计量的有关分布可以得出:ii2
结论1二元随机向量(S,T)的联合分布密度函数是n-2n(n-1)[F(s)-F(t)]p(s)p(t)0

7、数。由结论1又可得出:结论2二元随机向量(U,V)=(
S,
T)的分布密度函数为-v-un-2-u-vn(n-1)(e-e)ee00F(z)=n!!2k=0n-2kz
00证明当z>0时,F(z)=P{Z
z}=P{U+V
z}z2z-v-v-un-2-u-v=n(n-1)∫dv(e-e)eedu0∫vz2-v-z+vn-1-v=n∫(e-e)edv0zn-12kk