二阶线性齐次方程

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1、(second-orderlinearordinarydifferentialequation(ODE))第四节二阶线性微分方程一、二阶线性齐次微分方程解的结构二、二阶常系数线性齐次微分方程三、高阶常系数线性齐次微分方程四、小结五、作业二阶二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程形如线性微分方程n阶线性微分方程一、二阶线性齐次微分方程解的结构定理1？证叠加原理一定是通解(1)解,1.二阶齐次方程解的结构齐次二、线性微分方程的解的结构线性无关定义线性相关.否则称线性无关.如线性相关恒等式成立如果存在n

2、个不全为零的常数,使得当x在该区间内那末称这n个函数在区间I内为定义在区间I内的n个函数.特别地如定理2通解求只要求它的两个线性无关的特解.线性无关的特解,那末就是(1)的齐次线性方程的通解,通解.事实上，由一个非零特解可以构造出另一个与之线性无关的特解！详情推论是n阶齐次线性方程的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为其中为任意常数.定理2可推广到n阶齐次线性方程，即2.二阶非齐次线性方程的解的结构定理3的一个特解,为了求非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程只要求得:的通解.非齐次(2)非齐次

3、线性方程的通解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.是二阶非齐次线性微分方程事实上，也可通过常数变易法求出非奇次方程的通解！详情已知的通解.又容易验证是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解.如是二阶非齐次线性方程是对应齐次方程解的叠加原理定理4之和,的特解,那么就是原方程的特解.定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程.求解解的通解是再考虑两个方程分别是原方程的特解.所以原方程的通解为例解的叠加原理将其代入方程,故有特征根二阶设解得特征方程常系数齐次线性方

4、程(characteristicequation)(characteristicroot)其中r为待定常数.二、二阶常系数齐次线性方程解法※两个特解的通解的不同形式.有两个不相等的实根特征根r的不同情况决定了方程特征方程常数线性无关的得齐次方程的通解为设解其中r为待定常数.※有两个相等的实根一特解为化简得设取则知得通解为※有一对共轭复根为了得到实数形式的解,重新组合的两个线性无关的解.得齐次方程的通解为用欧拉(Euler)公式:称为由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法特征方程法.例解特征

5、方程故所求通解为特征根解特征方程故所求通解为例特征根解特征方程故所求通解为例特征根例解初值问题解特征方程特征根所以方程的通解为(二重根)特解特征方程特征方程的根通解中的对应项若是k重根r若是k重共轭复根三、高阶常系数齐次线性方程解法注意一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有n个根,而特征方程的每且每一项各一个任意常数.例解特征方程故所求通解为特征根即特征根故所求通解解特征方程例对应的特解线性相关与线性无关的概念线性微分方程的概念四、小结线性微分方程解的结构(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解

6、(1)写出相应的特征方程(2)求出特征根二阶常系数齐次线性方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根求通解的步骤:思考题都是微分方程:求此方程的通解.的解,高阶线性微分方程证齐次方程的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应结论所以非齐次线性方程则是齐次方程的解.高阶线性微分方程的解,原方程的通解为或或因而,齐次线性方程的通解解都是微分方程:求此方程的通解.的解,线性无关.所以,高阶线性微分方程五、作业4习题降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法代入(1)式,得则有(1)解得

7、刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程返回2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)(5)(4),(5)联立方程组积分可得非齐次方程通解为解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例设原方程的通解为解得原方程的通解为返回