2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案

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1、2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)设曲线y=f(x)与y=sinx在原点相切，则极限=______________.[解]由题设，f(0)=0,,于是=(2)由拉格朗日中值定理有，其中，则__________.[解](2)设，D是全平面，则___________.[解](3)设A=，A的伴随矩阵A*的秩为1，且，则Ax=0的通解为_____________.[解]由题设，秩r(A)=n-1,于是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为n-r(A)=1,而表明Ax=

2、0有解，故Ax=0的通解为.(5)已知-2是的特征值，其中b为不等于零的任意常数，则x=.—9—[解]由题设，有，知x=-4.(6)设P(A)=0.5,P(B)=0.6，，则=.[解]由题设知P(AB)=0.2,于是===二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)设则f(x)(A)极限不存在.(B)极限存在但不连续.(C)连续但不可导.(D)可导.[][解]应选C.因为，所以f(x)在x=0处连续.而不存在，故应选(C).(8)设f(x)有连续导数且，又.

3、当时，与是同阶无穷小，则n等于(A)1.（B）2.(C)3.(D)4.[][解]应选C.=，于是(9)设a和b为常数，且，则(A)a=0，b=1(B)a=-1，b=1—9—(C)(D)[][解]应选D由于，故应选(D).(10)设，则等于(A)-1(B)(C)1(D)0[][解]应选(A).当x=0时，，于是=(11)若在[0，1]上有，则的大小比较关系是(A)(B)(C)(D)[][解]应选(C).,于是，从而有(12)设A为阶矩阵，考虑以下命题：①Ax=0只有零解；②Ax=b有唯一解；③A的行向量组线性无关；④A的列向量组线性无关.则有(A)①

4、②④.（B）②①④.(C)④①③.(D)③②①.[][解]应选(B).Ax=b有唯一解，知—9—，于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选(B).(13)设A,B,C两两独立且P(A),P(B),P(C),则A,B,C不相互独立的充分条件是(A)A与BC独立(B)C与独立.(C)B与独立.(D)AB与AC独立.[][解]应选(D).若AB与AC独立，则P(,即=可见此时A,B,C不相互独立。应选(D).(14)设随机变量X,Y,Z相互独立，且X~N(1,2),Y~N(2,2),Z~N(3,7),记a=P{X

5、},则有(A)a>b.(B)ab.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)(本题满分8分)设可导函数x=x(t)由方程所确定，其中可导函数，求.[解]将t=0代入方程，可得x(0)=0.在方程两边对t求导，得，于是得在此方程两边再对t求导，得，于是可得(16)(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在A,B两个市场销售，售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为总成本函数为.

6、若A市场的价格对B市场的价格弹性为2，且=1时，=3/16.试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？—9—[解]收益为：利润=问题转化为求L在条件下的最大值.考虑拉格朗日函数令解得p1=3,p2=4.由于可能极值点唯一，且问题必存在最大值，因此当p1=3,p2=4时，利润最大.(17)(本题满分9分)已知方程存在实根，常数a>1,b>0，求a,b应满足的条件.[解]设，，驻点.当时，单调增加；当时，f(x)单调减少，是最大值.又，所以，即有，故a,b应满足条件：(18)(本题满分9分)已知函数u=u(x,y)满足方程，试选择常数a

7、,b,使得通过变换把原方程化为以z为未知函数的方程，且其中无一阶偏导数项.[解]，，，—9—，，代入原方程，得因无一阶偏导数项，故故原方程化为(19)(本题满分8分)设f(t)连续且满足，求f(t).[解]，于是解此一阶线性微分方程，得由于f(0)=0,得从而(20)(本题满分13分)设向量组，（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出；(2)p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.[解][，]（1）当时，向量组线性无关，此时设，解得（2）当p=2时，向量组线性相关，此时向量组的秩为3，—9—为其一个

8、极大线性无关组.(21)(本题满分13分)已知A为三阶矩阵，为Ax=0的基础解系，又AB=2B,B为三阶非零矩阵.1)计算