伯努利方程式及其应用

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1、流体力学顾伯勤主编研究生教材退出中国科学文化出版社第二篇流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论流体绕过物体的流动气体动力学基础第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第七章伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其限定条件实际流体的伯努利方程式实际流体的总流伯努利方程式相对运动的伯努利方程式伯努利方程式的应用第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第七章伯努利方程式及其应用退出返回第1页第一节伯努利方程式及其限定条

2、件在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛罗米柯方程式。令U为质量力函数，P为压力函数，使得，，，，而且第七章伯努利方程式及其应用退出返回第2页第一节伯努利方程式及其限定条件同理可得将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到第七章伯努利方程式及其应用退出返回第3页第一节伯努利方程式及其限定条件将各项归并，并用行列式表示（7.1）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第4页第一节伯努利方程式及其限定条件式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理

3、十分困难，求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微分方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情况。一、理想流体沿流线的流动将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知，，代入式（5.8）第1式，可得到等式两边均乘以得到第七章伯努利方程式及其应用退出返回第5页第一节伯努利方程式及其限定条件经整理可得到下式即同样可得到y，z轴方向的关系式将三式相加第七章伯努利方程式及其应用退出返回第6页第一节伯努利方程式及其限定条件因为，所以于是（7.2）式（7.2）就是沿流线的欧拉方程式。如果已知压力

4、和密度的关系及其随时间的变化规律，以及质量力的特性，上式就可进行积分，由此求出速度场。二、无旋运动流场对于无旋流场，有如下特性，，第七章伯努利方程式及其应用退出返回第7页第一节伯努利方程式及其限定条件代入式（5.8）的第1式，等式两侧均乘以dx，可以得到同样由式（5.8）的第2，3式可得将上面三式相加，得到等式两侧均加，且，则有（7.3）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第8页第一节伯努利方程式及其限定条件此式与式（7.2）相同，即任何流场的流线上各点的运动方程式和无旋运动流场中任意点的运动方程式是相同的，都是可以积分的常微分方程式

5、。实际工程问题中经常遇到的质量力场为重力场，即X=0，Y=0，Z=–g。此时，式（7.2）或式（7.3）成为（7.4）对于稳定流动，则上式成为式（7.5）为稳定流动、质量力只有重力时，沿流线或无旋流场的欧拉方程式。如果流体密度不变，则在稳定流动情况下，式（7.4）可以写成积分形式（7.5）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第9页第一节伯努利方程式及其限定条件或式（7.6）是对于只有重力场作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线或无旋流场的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程式。此式说明在上述限定条件下，任何点的压力能、位能、动能之

6、和为常量。利用葛罗米柯方程式（7.1），可以导得伯努利方程式更广义的限定条件。对于稳定流动，式（7.1）变成（7.6）将上式分别乘以dx，dy，dz，相加得到第七章伯努利方程式及其应用退出返回第10页第一节伯努利方程式及其限定条件即若上式等号右侧为零，则即对重力场作用下的不可压缩流体，于是这就是伯努利方程式。它建立的条件是：在重力场作用下，不可压缩理想流体的稳定流动，此外还必须符合下列条件：第七章伯努利方程式及其应用退出返回第11页第一节伯努利方程式及其限定条件要使上述三阶行列式等于零，有以下几种情况，，，即静止状态（1）（2），，

7、，即无旋运动，即沿流线，即沿涡线，即螺旋运动（5）（4）（3）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第12页第一节伯努利方程式及其限定条件这就是伯努利方程式所必须满足的广义限定条件。伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中以力为单位的各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件的情况下，流场中各点的三种能量尽管它们可以互相转换，但其总和是不变的。这三种能量统称为机械能。伯努利方程式可以有不同的形式，式（7.6）各项表示单位质量流体的能量。如将式（7.6）

8、除以g，则伯努利方程式的形式为式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。为压力水头，z为静水头，为速度水头。（7.6a）第七章伯努利方程式及其应用退出返回第13页第一节伯努利方程式及其限定条件如将式（7.6）乘以，则伯努利方程式如下式