6第六章伯努利方程及其应用

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1、第六章伯努利方程及其应用在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体）的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的，以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏

2、努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响，使得这一方程在以后的一百多年里，直到今天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方程，本章将对其理论和应用进行介绍。第一节伯努利定理在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。一、压力函数分析在流体静力学中，对于密度仅是压力的函数的正压流体，引入了压力函数：我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长l表示,而dl表示曲线弧的微元长度。显然，在曲线

3、L上，密度和压力是弧长l的函数，并且在不同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：联立以上两式消去l，即可将ρ表示为p的函数，注意，此时并不要求流场是正压流场。代入压力函数定义式：可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：一般情况下，曲线L上的函数关系是未知的，但是当流场是正压流场时，这时ρ仅是p的函数（根据定义），与所取曲线就无关了。所以只要已知，压力函数就可以积分。常见的正压场有：1、不可压缩流场：2、完全气体等温流场：3、完全气体的绝热等熵流场：在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般

4、就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到，也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又可以视为绝热流场。二、沿流线和涡线成立的伯努利积分由兰姆方程(引入理想流体假设1)：假设流动为定常(2)，质量力有势(3)，兰姆方程为：左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线(切线)上投影，有：注意压力函数的微分关系，代入上式有：这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲

5、线取为流线或涡线，则曲线上任意点的切线方向与向量垂直，因而有：（沿流线或涡线假设4）于是：积分：这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明：在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动能、压力能和势能之和是一个常数。注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值，C(L)会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分1、当质量力为重力时，质量力势为：2、当流体不可压时

6、，压力函数为：3、代入伯努利积分，有：或者：这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。四、伯努利积分与所取曲线无关的情况在正压流场中，如果恒有。则以上伯努利积分与所取曲线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点可以不必在同一流线或涡线上。的情况有三种：1、流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。2、流动无旋。3、通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就是说，此时我

7、们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。五、总结1、伯努利方程的形式I、物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。II、物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）III、物理意义：总水头高度的守恒。（水头表示）其中第I、II式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。2、应用条件理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力（质

8、量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。3、应用拓展柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的