概率论与数理统计总结（1-5章节）

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1、概率论与数理统计总结（1-5章节）第一章&第二章概率论引论&条件概率本章知识点：1．随机事件及其运算（随机试验，随机事件与样本空间，事件之间的关系及其运算）2．概率的定义、性质及其运算（频率，概率的统计定义，古典概率，概率的公理化定义，概率的性质）3．条件概率及三个重要公式（乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式）4．事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型理解重点：1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与基本运算；2.理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性，理解概率的公理化定义和概率的其它性质；3.理解古典概率的定义，掌握古典概率的计算，了

2、解几何概率的定义及计算；4.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；5.理解条件概率的概念，熟练掌握条件概率的计算，熟练掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算；6.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算，理解贝努利试验的概念，熟练掌握二项概率公式（贝努利概型）及其应用。第一节随机事件一、概率论序言二、随机试验与随机事件（一）随机试验1．试验可在相同条件下重复进行；2．每次试验的可能结果不止一个，而究竟会出现哪一个结果，在试验前不能准确地预言；3．试验所有可能结果在试验前是明确(已知)的，而每次试验必有其中的一个结果出现，并

3、且也仅有一个结果出现。满足上述三个特性的试验，叫做随机试验，简称试验，并用字母E等表示。（二）随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件。1．必然事件：在试验中一定出现的结果，记作Ω；2．不可能事件：在试验中一定不会出现的结果，记作Φ；3．随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的结果，常用大写拉丁字母A、B、C…表示；4．基本事件(样本点)：试验最基本的结果，记作ω；5．样本空间(基本事件空间)：所有基本事件的集合，常用Ω表示；样本空间Ω中的元素是随机试验的可能结果。样本空间的任一子集称作随机事件。在一次试验中，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，称事件A发生。显然

4、Ω为必然事件，Φ为不可能事件。三、随机事件间的关系与运算（一）随机事件间的关系1．包含：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称A是B的子事件，记作。A⊂B，或B⊃A。2．相等：若B⊂A且A⊃B，则称事件A与B相等，记作A=B。其直观意义是事件A与B的样本点完全相同。（二）随机事件的运算1．事件的和（并）若事件A和事件B至少有一个发生，则称这样的事件为事件A与B的和事件，记作B∪A或B+A。事件B∪A是属于A或属于B的样本点组成的集合。2．事件的差若事件A发生而事件B不发生，则称这样的事件为事件A与事件B的差，记作A-B。3．事件的积（交）若事件A与事

5、件B同时发生，则称这样的事件为事件A与事件B的积，记作AB或A∩B。4.互不相容事件(或互斥事件)若事件A与事件B不能同时发生，即Φ=AB(即A与B同时发生是不可能事件)，则称事件A与B是互不相容(互)事件。其直观意义是事件A与B没有公共样本点。5．对立事件（或互逆事件）在每次试验中，若事件A与事件B必有一个发生，且仅有一个发生，则称事件A与B为对立事件或互为逆事件。即有：Φ=AB，且Ω=B+A。事件A的对立事件记为A。6．完备事件组：若事件A1,A2··An两两互不相容，且每次试验必出现且只出现一个，则称A1,A2··An构成一个完备事件组。完备事件组中事件个数可以

6、是有限个，也可以是可数个。（三）随机事件的运算规律对于任意事件A,B,C有：1．交换律：A+B=B+A；AB=BA2．结合律：A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C；ABC=A(BC)=(AB)C3．分配律：A(B+C)=AB+AC；A(B-C)=AB-AC4．对偶律(德摩根律)：,交换律、结合律、分配律、对偶律都可推广到任意多个事件的情形。第二节概率的定义一、概率的统计定义（一）频率的稳定性考虑在相同条件下进行的S轮试验，事件A在各轮试验中的频率形成一个数列M1/N1,M2/N2```Ms/Ns.当各轮试验次数N1,N2```Ns充分大时，在各轮试验中事件A出现

7、的频率之间、或者它们某个平均值相差甚微.（二）概率的统计定义在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，这种确定概率的方法称为频率方法。二、概率的古典定义（一）古典概型若一个随机试验的结果只有有限个，且每个结果出现的概率都相同，则称这样的试验为古典型随机试验(或称古典概型)。（二）古典概率定义对于古典概型试验中的事件A，其概率为：样本空间中样本数中包含的样本点数（三）古典概型中事件概率的计算1．一次抽取试验中事件概率的计算2．不放回试验中事件概率的计算3．有放回试验中事件概率的计算三、概率的公理化定义与性质（一）概率