流形学习(浙大)

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1、流形学习浙江大学何晓飞信息时代机器学习问题信息(训练集)?何晓飞我们考虑的?和?往往?:?→?是欧氏空间流形（Manifold）Manifold=Many+Fold,很多曲面片的叠加叠加但不是拼接，不自交欧氏空间属于流形任何一个流形都可以嵌入到足够高维度的欧氏空间中(Whitney嵌入定理)流形假设真实数据是怎样的？外围欧氏空间的维度很高数据存在一定的低维内在结构我们假设数据是位于一个低维子流形上流形我们的地球表面是二维流形局部可以认为是欧氏空间测地线弯曲的’直线’，用来计算流形上两点的最短距离球面上的测点线不是直线，因为直线根本不在球面上流

2、形的特殊性质不满足平行公设:存在过空间中任意两点的平行直线(测地线)球面:任意两条测地线(大圆弧)都相交测地三角形的内角和不一定等于180度1818年至1826年间，高斯曾测量在Harz山脉中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其内角和是否等于180度。流形的特殊性质地球上总有一点是风平浪静的基本概念：拓扑空间Topologicalspacesaremathematicalstructuresthatallowtheformaldefinitionofconceptssuchasconvergence,connected

3、ness,andcontinuity.AtopologicalspaceisasetXtogetherwithτ(acollectionofsubsetsofX)satisfyingthefollowingaxioms:TheemptysetandXareinτ.τisclosedunderarbitraryunion.τisclosedunderfiniteintersection.拓扑空间ThecollectionτiscalledatopologyonX.TheelementsofXareusuallycalledpoints,thoughthe

4、ycanbeanymathematicalobjects.Thesetsinτarecalledtheopensets,andtheircomplementsinXarecalledclosedsets.AsubsetofXmaybeneitherclosednoropen,eitherclosedoropen,orboth.Afunctionbetweentopologicalspacesiscalledcontinuousiftheinverseimageofeveryopensetisopen.拓扑空间Fourexamplesandtwonon-exa

5、mplesoftopologiesonthethree-pointset{1,2,3}.Thebottom-leftexampleisnotatopologybecausetheunionof{2}and{3}[i.e.{2,3}]ismissing;thebottom-rightexampleisnotatopologybecausetheintersectionof{1,2}and{2,3}[i.e.{2}],ismissing.同胚（homeomorphism）Inthemathematicalfieldoftopology,ahomeomorphismo

6、rtopologicalisomorphismorbicontinuousfunctionisacontinuousfunctionbetweentwotopologicalspacesthathasacontinuousinversefunction.Homeomorphismsaretheisomorphismsinthecategoryoftopologicalspaces—thatis,theyarethemappingsthatpreserveallthetopologicalpropertiesofagivenspace.Twospaceswitha

7、homeomorphismbetweenthemarecalledhomeomorphic,andfromatopologicalviewpointtheyarethesame.同胚（homeomorphism）同胚（homeomorphism）流形上的拉普拉斯算子流形上的学习问题往往是用微分算子表示的微分方程问题微分几何中最重要的微分算子，表示为?或者Δ度量了流形上函数的光滑性?3中的拉普拉斯算子：一般流形上的拉普拉斯算子：?2??2??2?Δ?=++??2??2??2表示流形的离散数学模型图社会网络表示流形的数学模型单纯复形：曲面片的拼接图是1维

8、的单纯复形模型的选择简