柔顺机构拓扑优化设计

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1、*柔顺机构拓扑优化设计张宪民(华南理工大学机械工程学院广州510640)摘要：首先介绍了柔顺机构拓扑设计的现状，在此基础上进一步讨论了柔顺机构拓扑设计的基础结构法和均匀化方法；对相关的优化模型、材料模型进行了讨论，给出了拓扑结构的提取及过滤算法。最后指出了机构拓扑优化设计的发展动态和应重点研究的内容。关键词：柔顺机构拓扑优化基础结构均匀化过滤中图分类号：TH112.1TH11310前言采用拓扑优化设计方法研究柔顺机构的设计只需给定设计域和指定输入输出位置，无须从一个已知的刚性机构出发，且所得的机构具有优化的力－位移输入输出关系，

2、因而引起了人们的重视。[1~4][5~9]目前，在机构的拓扑优化设计方面主要有以下几种方法：均匀化方法、基础结构法和遗传算[10~11]法等。其中均匀化方法和在此基础上派生出的密度法适用于连续体结构，基础结构法适用于杆系类离散结构，而遗传算法对于连续体和离散结构均有较好的适用性，其缺点是计算量很大。在实际应用中，人们总是希望柔顺机构一方面具有足够的柔性，以便顺利完成预定的工作，同时又具有足够的刚性以保证其机械效益和工作的稳定性。柔顺机构的拓扑优化就是在这样一对相互矛盾的目标下进行的。这也是和结构拓扑优化设计的区别所在。下面着重介

3、绍基础结构法和均匀化方法的研究思路和研究方法，在此基础上进一步介绍拓扑图的提取和过滤技术。最后对目前机构拓扑设计存在的问题和需要进一步开展的工作进行了评述。1机构拓扑优化设计的基础结构法基础结构法是目前机构拓扑优化设计的主流方法之一。基础结构法的思路是首先在给定的设计域中构造杆、梁或框架单元的完备集合，以这些单元的截面面积或描述截面形状的某些参数为设计变量，在设计过程中，通过去除单元完备集中的某些单元而达到拓扑优化的目的。1.1单输入单输出时的拓扑优化设计如图1所示，给定设计域为W，P为驱动输入点，其中驱动力为F；P为机构的位移

4、输出点。io图1单输入单输入输出情况[5~8]通常采用应变能来表征系统刚度的大小，当驱动载荷给定后，系统的应变能越小则表示系统*纪念《机械工程学报》创刊50周年——“机械工程技术的历史、进展与展望”主题征文。高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划、国家自然科学基金、广东省自然科学基金(036548)和广东省“千百十”工程优秀人才基金资助项目。1的刚度越大。在载荷F作用下，系统的应变能为1T1TE=e(u)De(u)dW=UkU(1)s2òO2式中e(u)——在载荷F作用下的应变u——设计域内任意一点在载荷F作用下的弹性变形D——弹

5、性矩阵U——载荷F作用下的节点位移矢量k——系统刚度矩阵位移矢量U可应用有限元方法求出kU=F(2)[5~9]系统的柔性可采用互应变能进行表征，互应变能越大则表示系统的柔性越大。为此，假设在P点沿着输出位移d方向作用有一虚拟的单位载荷F，则互应变能为ood1T1TE=e(u)De(u)dW=UkU(3)ms2òWd2d式中e(ud)——在载荷Fd作用下的应变ud——设计域内任意一点在载荷Fd作用下的弹性变形Ud——载荷Fd作用下的节点位移矢量式中Ud可由下式求出kU=F(4)dd在设计柔顺机构时，总希望机构既有足够大的刚度又有足

6、够大的柔性。柔顺机构的最优拓扑优化设计就是找出这两个相互对立的最佳平衡点。综上，柔顺机构拓扑优化设计的目标函数可以表示为min(mE-(1-m)E)(5)1s1ms式中m——权系数1m的取值区间为[0，1]，当对刚度要求更严时m取大一点，反之则取小些。将式(5)作为目标函11数的优点是形式相对简单，缺点是E和E可能会出现量级的差异，而且已取为定值的权系数无法mss对其进行有效的调节，从而可能会导致目标函数出现病态。为了解决这一问题，可采用如下形式的目标函数-Emsmin(6)Es[9]该目标函数也等价于使系统的机械效率取最大值。

7、为了避免目标函数出现病态，权系数m可1取为Emsm1=(7)Ems+Es可见式(7)中的m可在迭代过程中不断进行更新。综前所述，采用基础结构法，在单输入单输出情况1下，柔顺机构拓扑优化设计的数学模型为min(mE-(1-m)E)1s1mss.t.kU=F(8)kU=FddLUxj£xj£xj,j=1,2,L,ne式中xj——第j个设计变量Lxj——第j个设计变量的下限Uxj——第j个设计变量的上限n——系统的设计变量数e21.2单输入多输出时的拓扑优化设计如图2所示，为一单输入多输出情况。给定的设计域为W，P为驱动输入点，其中驱

8、动力为F；iPoj,j=1,2,Lno为机构的位移输出点，no为位移输出个数。和前面的处理类似，为了求出互应变能，在Poj处，沿着各输出位移doj方向各作用有一虚拟的单位载荷Fdj，则总的虚拟载荷为noF=F(9)dtådjj=1图2单输入多输出情况这样处理后，