有括积的超代数与其相关问题分析

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1、独创件声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：学位论文使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制

2、手段保存、汇编本学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：继指导教师签名：邀速烈日期：塑翌：丛Et期：型掣：￡!鎏学位论文作者毕业后去向：工作单位：通讯地址：电话：邮编：东北师范大学硕士学位论文§1．1课题背景§1绪论在二十世纪八十年代，由于物理学中超对称问题研究的需要，李超代数得以迅猛发展。在二十世纪八十年代，物理学为了建立相对论的费米子与波色子统一理论，由Wess和Zumin提供了超对称性，将普通的时间、空间的Poincare李代数扩充为Pomcare李超代数，从此开始了对李超代数的研究。李超代数的研究成果不仅促进了物理学的发展，在数

3、学上亦与组合数学，顶点算子代数，微分流行，微分几何，拓扑学等重要的数学分支有着广泛而深刻的联系。因此至今这方面的研究工作十分活跃。李代数与李超代数在物理学理论以及物理学中已经占有极为重要的位置，它的发展将对数学的其他分支与理论物理产生深刻影响。在李代数或是李超代数的研究过程中，我们知道一个代数可以嵌入到它的泛中心扩张之中，因此对于代数的泛中心扩张代数的结构的研究有助于我们研究该代数本身的结构分类等重要性质，是很有意义的。近年对李代数的研究又出现了去掉李代数中的某些条件而产生的新的代数代数结构(我们称之为外代数)的研究与探讨。例如Leibniz代数，就是在李代数的

4、基础上拿掉反对称条件：『x,y]--[y,x]而得到的外代数。同样的在李超代数的条件之中平行地拿掉与某个外代数对应的条件得到的就是与之相对应的超代数。例如在李超代数中拿掉反超对称条件：[x，y】=(．1)㈣p’【y，x]得到的就是与Leibniz代数相对应的Leibmz超代数。对于这些外代数的研究有利于深化我们对于李代数李超代数性质，分类的研究。同样李代数作为这些外代数的特例也会在外代数的研究过程之中得到促进发展。在两千零六年，Casas．J．M和Pirashvili在研究非交换的Leibmz代数过程中提出了有括积代数的概念并在此基础上以同调的手法研究了该代数的

5、同调群得出了这种代数的泛中心扩张的核，从而构造了这个代数的泛中心扩张。本文主要就是在李超代数的基础上受到由结合超代数诱导出的李超代数与结合超代数的融合等式[a·6，c]=a．[6，c]+(-1)动×p[口，C]·b的启发从而对有括积的超代数进行定义，并研究这种代数的相关问题。§1．2本文研究内容本文研究的代数典型范例就是由结合超代数诱导出的李超代数。在这个代数中有两种代数结构：结合超代数和李超代数，他们相对应的运算我们在这里简称为结合乘和李乘。我们保留结合乘这一基本运算，定义抽象的与结合乘具有相容条件等式[口·6，C]=口·[6，c】+(一1)动×c>[口，c】

6、·6的括积运算。从而定义了有扩东北师范大学硕士学位论文积的超代数。然后借助于Hochschild复形来研究有括积超代数的Hochschild上同调群。然后定义一个上链映射口，通过该映射的mappingcone这一同调代数中的常用手法来构建有括积超代数的上链复形，得到有括积超代数的上同调日二船(彳，M)。再应用自由应用基本的同调运算得到这个上同调同构于Quillen上同调。接着定义有括积超代数的平凡同调。然后应用Loday的一个结论得出对应于一个短正合列的五项正合列。把这个结论应用到有括积超代数的中心扩张上面很容易的得到有括积超代数的泛中心扩张的核同构于刚定义的平

7、凡同调的一维同调群。有了泛中心扩张的核，那么就可以根据这个核来对应的构造有括积超代数的泛中心扩张。其实这个泛中心扩张的构造是受到了K．Iohara和Y．Koga于二零零一年在Commmt．Math．Helv．76发表的文章CentralextensionofLiesuperalgebras中构造方法的启发。文章中是一种代数结构，而我要解决的代数是具有两种代数结构的双代数结构对于其中任何～种代数都可以构造类似于上面文章中的泛中心扩张，你们为了解决他们之间的共存关系，就有了(彳@彳)o(彳p彳)的构造。在它的基础上模去Imd2及再其上再赋予显然的运算使之成为有括积超

8、代数。这样就得到了有括积