移动网格方法和层适应网格在几类奇异摄动问题上的应用

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1、¯rst-orderconvergenttotheexactsolutionbycomparisonprincipleonB-Smesh.Keywords：singularperturbation;equidistributionprinciple;di®erencescheme;movingmesh;B-Smesh.III湘潭大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体

2、，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日第一章引言1.1选题背景和研究现状在许多实际问题中，例如流体力学、弹性力学、声学、化学反应、最优控制等领域

3、会遇到大量奇异摄动问题。这类问题的特点是问题的解在求解区域的局部变化非常剧烈，除与自变量有关外，还与摄动参数有关。关于奇异摄动问题早期的一些理论及数值方法，可参见[43,44,45]。对于奇异摄动问题，在均匀网格上求解得不到理想的数值解。这就要求寻找一种非均匀网格，在解变化剧烈的局部区域内细密剖分，以适应问题的奇异摄动特性。近年来，有关求奇异摄动问题的非均匀网格构造主要有两种：层适应网格和自适应网格。其中层适应网格包括Bakhvalov网格、Shishkin网格、Bakhvalov-Shishkin网格等，该类网格的应用可参见文献[7,9,12,1

4、4,24,36]等。在层适应网格方面的研究成果较为完善，相对来说，自适应网格方面的研究成果较少。自适应方法大致分为三类：增加逼近空间的阶、局部网格加密和移动网格方法。其中移动网格方法最适合光滑性低的问题，该类网格的应用可参见文献[4,5,25,26,29]等。移动网格法是求解偏微分方程的重要方法，在许多物理与工程领域有广泛的应用，如固体和流体动力学、燃烧过程、热量转移及材料科学等。在这些领域中物理现象往往在局部区域具有奇异性：如激波、边界层和燃烧波等。当一个问题的物理解在求解区域的局部变化非常剧烈，比如解在局部有强间断，或有非常小的边界层时，通常用

5、的固定网格方法不利于求解。局部的奇异性会导致求解区域上的网格过细，会造成不必要的计算时间和数据存储上的浪费。因此，移动网格法成为了一个很重要且实用的工具。本文所考虑的是基于等分布原理的移动网格方法。等分布原理是DeBoor[1]在求解常微分方程的边值问题时引入的，其基本思想是要求网格点的分布能使得解的某种误差度量在各个单元上几乎相等。这种对解的误差的度量通常被称为控制函数。移动网格法的思想是保持求解过程中网格节点数不变，但网格节点的位置通过迭代而变化，并且将较多的网格点移动到解的性质较奇异的地方。通过这种合理分布的网格点，可以使解变化较大的局部区域

6、有较多的网格，从而使整体的误差减小，使数据存储量小，计算速度加快。对于奇异摄动对流扩散问题，已有许多学者作出了理论和数值方法方面的研究。如陈艳萍教授(见文献[2,3])，汤涛教授等(见文献[19])，N.Kopteva(见文献[6])和Y.Qiu，D.M.Sloan(见文献[18])等。文献[19]利用迎风差分格式，在等分布弧长控制函数产生的自适应网格上对一类奇异摄动问题进行分析，得出"一致收敛的结论，并用数值实验进行了验证。文献[2]和[3]在自适应网格上，利用离散格林函数分别得出了数值解几乎一阶收敛和一阶收敛的结论。文献[6]运用一1阶和二阶差

7、分格式，给出了一阶和二阶最大模范数的后验误差估计。关于奇异摄动反应扩散问题的相关研究见文献[9,10,24]。N.Kopteva等[10]考虑了线性奇异摄动反应扩散问题。文中指出标准弧长控制函数不适应于该问题，并由截断误差分析给出了一些合适的控制函数。文献[9]考虑了有多个解的非线性反应扩散两点边值问题，在层适应网格上运用标准三点差分格式，得出在Bakhvalov网格上二阶收敛，在Shishkin网格上几乎二阶收敛的结论。此外，M.stynes等[23]在Shishkin网格上运用修正的迎风差分格式分析了奇异摄动两点边值问题，证明了该格式优于标准的

8、迎风差分格式。文献[15]研究了扩散项和对流项都具有小摄动参数的对流扩散反应问题，该问题可能在求解区域的两端都产生指数型边