关于树上马尔可夫链场的若干强偏差定理

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1、关于树上马尔可夫链场的若干强偏差定理符号说明Tα0,α1,···,αm−1非齐次树B(R+)实数集R+上的Borelσ-代数(Ω,F,P)概率测度空间IA(·)集合A上的示性函数

2、Tn

3、树T上从第0层到第n层的所有顶点个数ω样本点E(X

4、G)条件数学期望{tn(λ,ω)}鞅iv河北工业大学硕士学位论文第一章绪论马尔可夫过程作为一种十分重要的随机过程，为随机过程的发展开创了新的起点，为物理、化学、天文、生物、经济、军事等科学领域的研究发展提供了强而有力的数学工具。树上的马尔科夫链场是一种特殊的随机场，树模型近年来已引起物理学、概率论及信息论界的广泛兴趣，树

5、指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一。同时在概率论的发展过程中，马尔可夫链的强偏差理论也逐渐发展成为概率论研究的中心课题之一，对强偏差定理的研究不仅对概率论与随机过程自身的发展很有意义，而且在统计学中统计量的分析及排队论的逼近理论中有着广泛应用。树指标马尔科夫链场的出现和发展具有重大的实际意义，它为物理学、生物学、工程技术、军事技术、金融和管理科学提供了强而有力的研究工具。关于树上马尔可夫链场的早期研究见Spitzer[1]及其所引文献。Benjamini和Peres[2]给出了树上马氏链及树指标随机游动的定义并研究了其上的正常返性。B

6、erger和叶中行[3,4]先研究了树上PPG不变随机场的熵率存在性，随后他们又研究了PPG不变随机场的具有依概率收敛性质的Shannon-McMillan定理。在20世纪70年代末,刘文教授提出了一种研究极限定理的区间剖分法，在强偏差定理，Shannon-Mcmillan定理，赌博系统，任意相依随机变量序列的强极限定理、马尔可夫链及树上马尔可夫链场的强极限定理等领域做了许多工作[5]。在此基础上，人们不断地发展创新。刘文,杨卫国[6]研究了N值随机序列的马尔科夫逼近和一类小偏差定理。金少华[7]研究了关于任意可列非齐次马尔可夫链普遍成立的强极限定理。刘

7、文,王丽英[8]通过引进样本相对熵率作为Cayley树上任意随机场与马尔可夫链场之间的偏差的一种度量,建立了关于状态序偶出现频率的一类强偏差定理(也称为小偏差定理)。杨卫国,刘文[9]研究了非齐次m阶马氏信源的渐近均分割性。袁德美等人[10,11]通过引入极限对数似然比，利用截尾的方法并结合Doob鞅收敛定理，最终得到一类强偏差定理。李文汉等人[12]利用任意信源相对熵密度偏差的概念，使用刘文教授的分析方法得出了一个任意信源二元函数的强偏差定理和几个极限性质。杨卫国[13∼17]等人研究了关于离散随机变量序列的一类强偏差定理、Cayley树图上关于奇偶马

8、氏链场的一类强偏差定理、关于齐次树上随机场的一类强偏差定理以及关于任意随机变量序列泛函和m阶非齐次马氏链的一类强偏差定理。金少华[18∼20]研究得出了关于马氏信源的一强偏差定理、整值随机变量序列的一强偏差定理以及一类特殊非齐次树上的Shannon-McMillan定理。本文的主要目的就是研究关于树上马尔可夫链场的若干强偏差定理。本文主要通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理[21,22]应用于几乎处处收敛的研究。1关于树上马尔可夫链场的若干强偏差定理第二章预备知识设T是一个无限树，x,y是T中任意两个顶点，则存在唯一的从x到y的路径x=z1,z2,

9、···,zn=y,其中z1,z2,···,zn互不相同，且zi与zi+1为相邻的两顶点。n−1称为x到y的距离。为给T中的顶点编号，我们选定一个顶点作为根顶点并记之为O。如果一个顶点与根顶点的距离为n，则称此顶点为第n层上的顶点。为统一起见，也称根顶点为位于第0层上的顶点。设T是一个具有根顶点O的无限树，{Nn,n≥1}是一正整数集，如果第n(n≥0)层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，称T为广义Bethe树或广义Cayley树。特别地，若对非负整数集N，用模m(m≥2)的同余关系对其分类得到模m的剩余类:(0)={0,m,2m,···}

10、(1)={1,m+1,2m+1,···}······(m−1)={m−1,2m−1,3m−1,···}当n∈(i)时，令Nn+1=αi（αi均为正整数且不同时为1），i=0,1,2,···,m−1,便得到了一类特殊的非齐次树Tα0,α1,···,αm−1。以下恒以T表示树Tα0,α1,···,αm−1，以Ln表示第n层上所有顶点的子图，Tn表示含有从0顶点到第n层上所有顶点的子图。S(t)表示顶点t的所有子代的子图。并令N0=1。设s,t是树图T上任两个顶点，如果s处在从O到t的唯一路径上，则记为s≤t，并记

11、t

12、为这个路径的边数。显然若

13、t

14、=n，则t

15、是处于第n层上的顶点。对于树图T上的任两个顶点s,t,记s∧t是满足s∧t≤t,