关于L网格剖分上样条函数空间维数的分析

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1、独创性说明作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。作者签名：垫．日期：盆z。厶22大连理工大学硕士研究生学位论文大连理工大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”，同意大

2、连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。作者签名：童掣垒导师签名：塑l主茎丛丝塞．呈塑五年—[月!韭日大连理工大学硕士学位论文引言在一般的矩形网格中如果允许T相交就形成T网格(记为△，)，如果还允许L相交就形成了L网格(记为△，)。一直以来，张量积形式的B样条函数在自由曲面设计中是一种非常重要的工具，它可以看成是定义在无T

3、相交和L相交的特殊L网格上的样条函数。但是由于采用了张量积形式，给曲面的设计带来一些困难。例如不能对剖分区域进行局部细分。在进行曲面设计时，若构造的曲面只有在一个小区域变化突兀，而在其他区域是十分平坦的，为了保持张量积网格结构，我们不仅要在变化突兀的区域增加控制点，还要在相应的平坦区域的竖直和水平方向上增加许多冗余的控制点，这给曲面设计带来了很大的负担。这样，我们需要能够支持局部细化的网格来克服这一不足。这样T网格和L网格上样条函数空间的维数问题的研究是必不可少的。2003年，Sederberg。

4、”等提出了T样条。T网格可以看成无L相交的特殊的L网格，文献[16]用B网的方法计算出T网格上样条函数空间s∞，月，口，卢，△，)的维数，维数公式成立的条件是次数与光滑度需要满足m≥2a+1，珂≥2p+1。文献[17]利用光滑余因子协调方法。罔给出该样条函数空间的维数公式，但限制条件不但与次数和光滑度有关，还与剖分的结构有关，这就使得可以通过调整剖分的结构来拓展维数公式的适用范围。通过与文献n73类似的方法，本文也将利用光滑余因子协调方法讨论定义在L网格上样条函数空间sb，月，口，肪△。)的维数，

5、并对维数公式的适用条件进行了讨论，给出几种特定L网格上样条函数空间维数公式的适用条件，扩展了维数公式的适用范围。关于L暇格剖分E样条函数空间维数的研究1多元祥条函数简介所谓样条函数(Splinefunction)就是具有一定光滑性的分段或分片多项式函数。1946年。数学家I．J．Schoenberg较为系统的建立了一元样条函数的理论基础“1，但是Schoenberg的工作剐开始时并宋受到重视。从60年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应用。鉴于客观事物的多样性

6、和复杂性，开展有关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用上都有着十分重要的意义。现在，它在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波分析领域中均有较为重要的应用。一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子协调法、B网方法及多元B样条方法。下面我们分别对他们做简要的介绍。1．1光滑余因子协调法20世纪60年代至70年代初，G．Birkhoff,H．L．Garabedian和CarldeBoor等研究并建立了一系列关于Cartesian乘积型的多元样条理论。Cartesian乘积型多

7、元样条虽然有一定的应用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简单推广。1975年，王仁宏在文[2]中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意割分下多元样条函数的基本理论框架，并提出了光滑余因子协调法(Smoothingcofactor—conformalitymethod)。从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可以转化为与之等价的代数问题来研究。设D为二维Euclid空间R2中的给定区域。以只记二元k次实系数多项式集合：rt^，，]最．-{P=∑∑ccxSy牛，∈五}．L

8、f柚』神J一个二元多项式P∈忍称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它多项式可以整除它(在复域中)。代数曲线F：l(x，YJ=o，l(x．y)e只，称为不可约代数曲线，如果，G。1y)是不可约多项式。显然直线是不可约代数曲线。今用有限条不可约代数曲线对区域D进行剖分，将剖分记为△，于是D被分为有限个子区域D，，D：，⋯，D。，他们被称为D的胞腔。形成每个胞腔边界的线段称为网线，两线的交点称为网点或顶点。若两个网点为同一网线的两端点，则称该两网点是相邻网点。我们将位于区