2003北京高考数学真题与答案

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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合等于（A）（B）（C）（D）（2）设，则（A）y3>y1>y2（B）y2>y1>y3（C）y1>y2>y3（D）y1>y3>y2（3）“”是“”的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（4）已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（A）若m∥n，m⊥α，则n⊥α（B）若m∥α

2、，α∩β=n，则m∥n（C）若m⊥α，m⊥β，则α∥β（D）若m⊥α，，则α⊥β（5）极坐标方程表示的曲线是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线（6）若且的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）5（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）（B）（C）（D）（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（A）24种（B）18种（C）12种（D）6种（9）若数列的通项公式是，则-10-等于（A

3、）（B）（C）（D）（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令,其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数中，是偶函数.（12）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是（13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一

4、个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）-10-已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，求的最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.（17）（本小题满分15分）如图，正三

5、棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.（18）（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证：

6、OP

7、=

8、OQ

9、.（证明过程不

10、考虑CH或GD垂直于x轴的情形）-10-（19）（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？（20）（本小题满分14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件：（i）（ii）对任意的（Ⅰ）证明：对任意的（Ⅱ）证明：对任意的（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足

11、题设条件的奇函数，且使得若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.-10-2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.（1）A（2）D（3）A（4）B（5）D（6）B（7）C（8）B（9）C（10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.（11）（12）（13）（14）三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）满分13（Ⅰ）解析：因为所以的最小正周期-

12、10-（Ⅱ）解析：因为所以当时，取得最大值；当时，取得最小值－1.所以在上的最大值为1，最小值为－（16）满分13分.（Ⅰ）解析：设数列公差为，则又所以（Ⅱ）解：令则由得①②当时，①式减去②式，得所以当时,综上可得当时,当时，（17）满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面