近世代数前两章知识总结

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1、近世代数论文近世代数论文师范学院14级数学与应用数学2班景羡林学号：12147139213一、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为ρA或2A。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）

2、a∈A，b∈B}叫A与B的积。（A×B≠B×A）3、A到B的对应法则ø为A到B的映射①∀x∈A，x有象②∀x∈A，x的象唯一③∀x∈A，x的象在B中。4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有nn个，一一映射共有n！个。5、代数运算：一

3、个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。（o为A×B到D的代数运算∀（a，b）∈A×B，aob有意义，且aob唯一，属于D）。6、满射：∀y∈A，设y=∅（x），求出x（x为y的函数），若x存在且x∈A，则∅为满射。（A中的每一个元素都有原象）；单射：∀a，b∈A，若a≠b，则∅（a）≠∅（b）。（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。8、一个A到A的映射∅，叫做一个

4、对于代数运算o和o来说的，A到A的同态映射，假如满足：∀a,b∈A，a→a，b→b则aob→aob（运算的象=象的运算）；A与A同态A与A存在同态满射∅。9、一个A到A的一一映射∅，叫做一个对于代数运算o和o来说的，A到A的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。10、若R为法则，若R满足∀a，b∈A，要么aRb，要么aRb，唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如满足①反射律（∀a∈A，有a~a）②对称律③推移律11、A的一个分类即为A的一些子集A1、A2、…An满足：①A1

5、∪A2∪…∪An4近世代数论文=A.②Ai∩Aj=∅（i≠j）（不相交）。（集合A的元间的一个等价关系~决定A的一个分类）1、模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b）则a≡b（a与b同除n后余数相同）。若a=b则a≡b（n）即n

6、a-b。第一章群论1、群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：①乘法封闭。②结合律成立。③存在单位元。④逆元存在。2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得am=e成立的最小正整数m，记为a，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。（单位元的阶为1

7、）3、元素的阶的性质：①设a的阶为m，若an=e则m∣n；②任何元素与它的逆元同阶；③设G为一个群，a∈G，若a的阶为2，则a=a-1；④在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。4、交换群：∀a，b∈G，ab=ba5、若一个有乘法的有限集满足①乘法封闭；②结合律成立；③消去律成立（若ax=ax＇，那么x=x＇；若ya=y＇a则y=y＇）。则必能做成一个群。（无限集不适用）6、群同态：假定G与G对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么G也是一个群（具有相同的特性）。但是反之却不成立。7、设（G，·）和（G，·）是两个群

8、，如果存在G和G的同态满射，则称G和G同态，记为G～G；如果存在G和G的同构映射，则称G和G同构，记为G≌G。8、A的一个变换就是一个A到A自己的映射。9、一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。（变换群是非交换群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，10、任何一个群都同一个变换群同构。11、一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群）12、一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n次对称群Sn的阶是n！。13、每一个

9、有限群都与一个置换群同构。14、循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群）15、假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：①a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；②a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。16、一个循环群一定是一个交换群。17、设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H为G的一个子群，记为H≤G。18、子群的判法：⑴定义法；⑵一个群G的一个非空子集H作成4近世代数论文G的一个子群的充要条件是①乘法封闭；②逆

10、元成立（a∈Ha-1∈H）；⑶充要条件是：a、b∈Hab-1∈H；⑷充要条件是：a、b∈Hab∈H。1、群G中由等价关系a～bab-1∈H决定G的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。2、群G中由等价关系a～′bb-1a∈H决定G的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的