《矩阵分析郝》PPT课件

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1、第四章矩阵的分解这里我们主要讨论矩阵的两种分解：矩阵的满秩分解，正交三角分解。4.1矩阵的满秩分解定理：设，那么存在使得1使得其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施行初等变换可以将其化成2即存在使得于是有其中3如果的前列线性相关，那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在且满足4从而其中5例：分别求下面三个矩阵的满秩分解看书P184/4.1.16解：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵

2、均可以。7选取也可以选取8解：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到910由此可知，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取11同样，我们也可以选取1213解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到14所以，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取15由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。164.2矩阵的正交三角分解定理设，那么可唯一地分解为或其中，是正线上三角矩阵，是正线下三角矩阵。17证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的

3、。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组18并且向量组之间有如下关系再单位化，这样得到一组标准正交向量组19其中，于是有20其中，21显然矩阵是一个正线上三角矩阵。下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式22那么有注意到是酉矩阵，而是一个正线上三角矩阵，由前面的结论可知因此有23因为有，所以，按照分解的存在性可知其中是正线上三角矩阵。于是其中是正线下三角矩阵，此结论也可以被推广为24定理：设，则可以唯一地分解为其中是阶正线上三角矩阵，，即是一个次酉矩阵。25例1：求下列矩阵的正交三角分解26解：（1）容易判断出，即是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，将的三

4、个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量组2728再将其单位化，得到一组标准正交向量组29这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成30将上面的式子矩阵化，即为31定理：设，则可以唯一地分解为其中是阶正线下三角矩阵，，即是一个次酉矩阵。32推论：设，则可分解为其中，是阶正线上三角矩阵，是阶正线下三角矩阵。33