《矩阵分析建模》PPT课件

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1、第四章矩阵分析方法建模§4.1循环联赛的奖金分配及排名次问题§4.2有限网络的一些有趣问题§4.3数据处理的一些有趣问题§4.1循环联赛的数学建模问题随着人们生活水平的提高,人们不但喜爱体育,而且喜爱体育比赛,出现千千万万的各种体育比赛迷.随着我国经济的迅速崛起,各种超级联赛也应运而生.大型赛事常常是人们饭后茶余的主要话题.体育比赛中也有数学建模问题,本节就来介绍,循环联赛的奖金分配及排名次所涉及的数学建模问题.A循环联赛的奖金分配问题背景已有多年循环比赛历史的n支球队:T1,T2,…,Tn今年照例举行无平

2、局的循环联赛,约定按下列规则发放奖金:规则战胜Ti得奖金xia元,a为待定的奖金单位(换句话说,战胜各队奖金按比例x1:x2::xn发放).问题如何合理地决定奖金(系数)向量x=(x1,x2,…,xn)T(准确到相差正因子a),使对每一队来说都保持公平?问题分析与假设奖金向量的公平性体现在:Ti越强xi越大.(战胜强队是衡量球队发挥好的标志)各队强弱程度用胜负概率矩阵F=(fij)来刻画,fij表示过去Ti战胜Tj的概率.假设:n个队中没有特别强或特别弱的队(否则该队早已升级或降级离开了),即i,

3、j,0

4、精细地确定fij,应区别对待大,中,小赛.和区别对待大胜,中胜和小胜,并用层次分析方法制定相应的权向量.用层次分析合理决定胜负概率矩阵之例zy2y3y1大赛中赛小赛x1x2x3x4大胜小胜平负计分规则WZ(y)=(4/7,2/7,1/7);i,Wyi(x)=(3/6,2/6,1/6,0).即,对比赛等级用4:2:1加权;对比赛胜负程度用3:2:1:0加权.例如,某两队的历史记录由下表给定,用此公式算出的胜负概率是:fij=4/7.场次12345等级大赛中赛小赛小赛中赛Ti:Tj小胜小负大负小负小胜实例如果

5、仅用胜负次数计算Ti和Tj的胜负概率,则因Ti是5场2胜;Tj是5场3胜,由此即得:fij=2/(2+3)=2/5;fji=3/(2+3)=3/5.如果用上面介绍的加权办法计算Ti和Tj的得分di和dj的话,则di=42+0+0+0+22=12;dj=0+22+13+12+0=9.fij=12/(12+9)=4/7;fji=1-fij=3/7.上述二结果大相庭径,哪个更合理?按体育常识而论,正确的答案应该是后者.合理性讨论数学建模Ti可期望共获奖金数为:★Ti可期望共失奖金数为:易见奖金向量为公平

6、的充要条件是:令ui=j=1nfji,aij=fij/ui,则(1)等价于或Ax=x(2)★因Ti可期望战胜Tj而获奖金数为fijxja,j=1,…,n,故Ti可期望共获奖金数为:j=1nfijxja.因Tj可期望战胜Ti而获奖金数为fjixia,j=1,…,n,故Ti可期望共失奖金数为:j=1nfjixia.这样一来,上述两个求和式就有了它们的实际意义.在数学的学习中,我们经常要对一个死的数学式子,通过对它的含义的解释,而赋予它生命,这种所谓”理解性的翻译”,对数学建模尤为重要.例如对例1,上述方程

7、组的系数矩阵计算如下:基于上述分析得:结论:如果由胜负概率矩阵F形成的矩阵A以1为单特征值,并且有对应于1的正特征向量x,则此向量x可取为唯一合理的奖金向量.证:我们所讨论问题的合理奖金向量,按所定规则,必须是满足方程组(2)的一个正向量,并要求这样的正向量不计较相差一个任意常数因子是唯一的.注:由下面的定理４.1与定理4.2推出,上述结论所要求的条件总能满足,因此,本问题恒有唯一解.有关数学背景知识定义:实方阵A=(aij)称为正(非负)矩阵,如果i,j,aij>()0;非负方阵A称为本原矩阵,如果存

8、在正整数m使得Am为正矩阵.定理4.1:任意本原矩阵A都恰有一个正特征值r(A),其值大于其它特征值的模数(故r(A)为单特征值,任意两个对应于它的特征向量都线性相关),并且存在对应于r(A)的正特征向量x.定理4.2:当n3时,奖金分配问题中定义的矩阵A是本原矩阵,并且r(A)=1.定理4.2的证明定理4.2:奖金分配问题中定义的矩阵A是本原矩阵,并且r(A)=1.证:因ij,aij=fij/ui0,故